Reszta wielomianu

[ducia]

Reszta z dzielenia wielomianu W przez wielomian \(\displaystyle{ P(x)=x^3+2x^2-x-2}\) jest równa \(\displaystyle{ x^2+x+1}\). Wyznacz resztę z dzielenia wielomianu W przez wielomian \(\displaystyle{ V(X)=x^2-1.}\)

[RyHoO16]

No to tak:


\(\displaystyle{ W(x)=Q_{1}(x) P(x) + x^2+x+1 \\
W(x)=Q_{1}(x) (x^2-1)(x+2)+x^2+x+1}\)

Z tego mam: \(\displaystyle{ W(-1)=1 \ \ W(1)=3 \ \ W(-2)=3}\)

Teraz zauważ, że reszta ta musi wynosić \(\displaystyle{ R(x)=ax+b}\), czyli

\(\displaystyle{ W(x)=Q_{2}(x) V(x)+ax+b \\
W(x)=Q_{2}(x) (x-1)(x+1)+ax+b}\)

Dochodzimy z tego do uk. równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} -a+b=1 \\ a+b=3 \end{cases} \iff \begin{cases} a=1 \\ b=2 \end{cases}}\)

Czyli reszta jest równa \(\displaystyle{ R(x)=x+2}\)

[ducia]

dzięki wielkie;)