3 zad z wielomianoów

[Finezik]

1 Reszta z dzielenia wielomianu W przez wielomian Q określony wzorem Q(x) = x^4 + x^3 - x – 1 wynosi x^3 + x^2 + x + 2. Wyznacz resztę z dzielenia wielomianu W przez x2 – 1
2 Oblicz sumę współczynników wielomianu W(x) = 500(x - 1)^2004 + 2004(2 - x)^2000 – 4
3 Wiedząc, że trójmian ax^2 + bx + 2 przyjmuje największą wartość równą 11 dla x=3 oblicz resztę z dzielenia wielomianu 2x^4 + 4x^3 + ax^2 + bx + 2 przez dwumian x-1.
4 8. Dla jakich wartości parametrów a oraz b liczba 1+ pierw z 3 jest pierwiastkiem równania 3x^3+ax^2+bx+12=0, a,b nalezy do C

[mmoonniiaa]

https://matematyka.pl/viewtopic.php?t=28951

[ Dodano: 9 Września 2008, 14:30 ]
1.
\(\displaystyle{ W(x)=P(x) (x^4+x^3-x-1)+(x^3+x^2+x+2) = \\ = P(x) (x+1)(x-1)(x^2+x+1) + (x^3+x^2+x+2) \\
W(-1)=-1+1-1+2=1 \\
W(1)=1+1+1+2=5 \\
\\
W(x)=S(x) (x^2-1)+(ax+b) =S(x) (x+1)(x-1)+(ax+b)\\
W(-1)=-a+b \\
W(1)=a+b \\

\begin{cases} -a+b=1 \\ a+b=5 \end{cases} ...}\)

[Mersenne]

Zad. 3

Wiemy, że trójmian kwadratowy \(\displaystyle{ ax^{2}+bx+2}\) osiąga największą wartość równą \(\displaystyle{ 11}\) dla \(\displaystyle{ x=3}\), zatem zachodzi:

\(\displaystyle{ \begin{cases} a}\)

[damiano14]

Mersenne a mógłbyś wytłumaczyć skąd w tych założeniach wzięło Ci się -b/2a ? bo jakoś tego nie rozumiem. Wiem że to jest wzór na miejsce zerowe ale nie wiem jak to się ma do tego wszystkiego Pzdr!!

[Mersenne]

Mogłabym

Niech \(\displaystyle{ W}\) będzie wierzchołkiem paraboli, która jest wykresem trójmianu kwadratowego. \(\displaystyle{ W=\left(\frac{-b}{2a}, \frac{-\Delta}{4a}\right)}\), czyli \(\displaystyle{ \frac{-b}{2a}}\) jest odciętą wierzchołka paraboli, dla której trójmian osiąga wartość największą równą \(\displaystyle{ \frac{-\Delta}{4a}}\), stąd mamy:

\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{-b}{2a}=3 \\ a\cdot3^{2}+3b+2=11\end{cases}}\)

[damiano14]

sorki za pomyłkę
A mam jeszcze jedno pytanie: Jest takie twierdzenie że resztę z dzielenia wielomianu w(x) przez dwumian (x - p) możemy odliczyć korzystając z równości R = W(p) czyli tam mam wstawić miejsce zerowe tego dwumianu tak ? jak by było np ( x +1) to reszta => R = W(-1) dobrze mówię ?