parametry wielomiany

[matma12323]

1)

Znajdź takie wartości parametrów a,b,c aby wielomiany P(x) i Q(x) były równe
\(\displaystyle{ P(x)=ax^{3}-4x^{2}+5x-2}\)
\(\displaystyle{ Q(x)=(x-b)^{2}(x-c)}\)

2)

Dla jakich wartości parametru m równanie

\(\displaystyle{ x^{4}-6x^{2}+c=0}\)

ma cztery równe rozwiązania?

[mmoonniiaa]

1.
\(\displaystyle{ Q(x)=(x^2-2bx+b^2)(x-c)=x^3-2bx^2+b^2x-cx^2+2bcx-b^2c=x^3-(2b+c)x^2+(b^2+2bc)x-b^2c \\
P(x) \equiv Q(x) \begin{cases} a=1 \\

-(2b+c)=-4 \\ b^2+2bc=5 \\ -b^2c=-2 \end{cases}}\)
Rozwiąż taki układ równań.

[Viathor]

1)

\(\displaystyle{ ax^3-4x^2+5x-2=x^3+(-2b-c)x^2+(b^2+2bc)x-cb^2\\
\begin{cases} a=1 \\ -2b-c=-4 \\ b^2+2bc=5 \\ -cb^2=-2 \end{cases}}\)

2)

\(\displaystyle{ x^2=t\\

t^2-6t+c=0\\
\begin{cases} \Delta_t>0 \\ t_1t_2>0 \\ t_1+t_2>0 \end{cases}}\)

[matma12323]

Właśnie mam problem z tym układem równań
Prosze pomóżcie

[mmoonniiaa]

Wyznaczam z drugiego równania c: \(\displaystyle{ c=-2b-4}\) i podstawiam do równania trzeciego i czwartego:

1.
\(\displaystyle{ b^2-2b(2b+4)=5 3b^2+8b+5=0 b= \frac{-5}{3} b=-1}\)

2.
\(\displaystyle{ b^2(2b+4)=2 b^3+2b^2-1=0 (b+1)(b^2+b-1)=0 b=-1 b= \frac{-1- \sqrt{5} }{2} b= \frac{-1+ \sqrt{5} }{2}}\)

Z obu równań otrzymuję:
\(\displaystyle{ \begin{cases} b= \frac{-5}{3} b=-1 \\ b=-1 b= \frac{-1- \sqrt{5} }{2} b= \frac{-1+ \sqrt{5} }{2} \end{cases} b=-1 \begin{cases} a=1 \\ b=-1 \\ c=-2 \end{cases}}\)

[damiano14]

Witam! Otóż potrzebuje na lekcje rozwiązać właśnie to drugie zadanie. Mógłby mi ktoś wytłumaczyć skąd tam się wzięły takie warunki:

t1t2 >0 i t1 + t2 > 0 ?? bo to że delta ma być większa od zera to wiem.
Bedę bardzo wdzięczny za wytłumaczenie

[mmoonniiaa]

Czy w poleceniu do tego zadania jest "cztery róWne pierwiastki" czy może "cztery róŻne pierwiastki"?

Jeśli pierwiastki mają być różne, to wg mnie nie wszystkie warunki napisane przez Viathor są potrzebne. Wystarczy \(\displaystyle{ \Delta_t>0}\), by równanie ze zmienną \(\displaystyle{ t}\) miało dwa różne rozwiązania, a tym samym równanie ze zmienną \(\displaystyle{ x}\) cztery różne rozwiązania.

[damiano14]

mmoonniiaa może Ty będziesz w stani mi odpowiedzieć . Potrzebuję to zadanie do szkoły i chciałbym żeby wszystko było jasne. Mogłabyś powiedzieć dlaczego tam są te warunki :t1t2 >0 i t1 + t2 > 0 ??
Jak się to ma to tego polecenia że mają być 4 różne pierwiastki ??

[mmoonniiaa]

damiano14, przeczytaj moją odpowiedź jeszcze raz.

[damiano14]

przeczytałem nawet więcej niż jeden raz w zadaniu jest 4 RÓŻNE pierwiastki. No i wiadomo że delta ma być większa od 0 to jest oczywiste. Ale kompletnie nie rozumiem tych dwóch założeń... heh nie zabiegał bym tak o to ale potrzebuję to zadanie rozwiązać do szkoły i cjiałbym wszystko dokładnie zrozumieć )

[mmoonniiaa]

Napisałam tak:
Jeśli pierwiastki mają być różne, to wg mnie nie wszystkie warunki napisane przez Viathor są potrzebne. Wystarczy \(\displaystyle{ \Delta_t>0}\), by równanie ze zmienną \(\displaystyle{ t}\) miało dwa różne rozwiązania, a tym samym równanie ze zmienną \(\displaystyle{ x}\) cztery różne rozwiązania.

Naprawdę nie rozumiem Twoich pytań. Przecież powiedziałam, że wystarczy założenie \(\displaystyle{ \Delta_t>0}\).

[damiano14]

w kiełbasie jest takie samo zadanie pytają o 4 różne pierwiastki. w odpowiedzi jest przedział od (0 ;9) a z samej delty wychodzi 0 wychodzi m>0 część wspólna i mamy dobre rozwiązanie