wyznaczenie wielomianu

[robin5hood]

Wielomian \(\displaystyle{ W}\) spełnia \(\displaystyle{ W(x^2+1)-W(x^2-1)=4x^2+6}\). Wyznaczyć \(\displaystyle{ Q(x)=W(x^2+1)-W(x^2)}\).

[alchemik]

Wiedząc, że różnica tych wielomianów jest stopnia drugiego możemy obliczyć ile wynosi \(\displaystyle{ W(x)=x^{2}+3}\)

[robin5hood]

w jaki sposób wyliczyłes \(\displaystyle{ W(x)}\)

[alchemik]

\(\displaystyle{ W(x)=a_{n}x^{n}+...+a_{1}x^{1}+a_{0} \ \ a_{n} 0 \\ W(x^{2}+1)-W(x^{2}-1)=(a_{n}(x^{2}+1)^{n}+...+a_{1}(x^{2}+1)^{1}+a_{0})-(a_{n}(x^{2}-1)^{n}+...+a_{1}(x^{2}-1)^{1}+a_{0})=}\)
Teraz sprawdzamy jakiego stopnia jest największy niezerowy wyraz różnicy
\(\displaystyle{ =(a_{n}{n \choose 0}x^{2n}+a_{n}{n \choose 1}x^{2n-2}+... a_{n-1}{n-1 \choose 0}x^{2n-2} +....+a_{0})- (a_{n}{n \choose 0}x^{2n}-a_{n}{n \choose 1}x^{2n-2}+ ...+ a_{n-1}{n-1 \choose 0}x^{2n-2} +...+a_{0})=(2a_{n}{n \choose 1}x^{2n-2}+...)}\)
Porównując z naszym wynikiem odejmowania możemy wnioskować, że wielomian jest stopnia 2.
Podstawiajac teraz
\(\displaystyle{ (a_{2}(x^{2}+1)^{2}+a_{1}(x^{2}+1)+a_{0})-(a_{2}(x^{2}-1)^{2}+a_{1}(x^{2}-1)+a_{0})=4a_{1}x^{2}+2a_{1}=4x^{2}+6 a_{1}=1 a_{2}=3}\)