Zadania z parametrem

paweb · Post autor: **paweb** » 23 paź 2005, o 14:03

Witam mam problemu z takimi zadankami moze powieci mi jak je rozwiazac.

1.Dla jakich wartośći parametru równania \(\displaystyle{ 2x^2-(3m+2)x+12=0}\) i \(\displaystyle{ 4x^2-(9m-2)x+36=0}\) mają wspólny pierwiastek ?

2.Dla jakich wartości parametru k jeden z pierwiastków rzeczywistych równania \(\displaystyle{ (k^2-5k+3)x^2+(3k-1)x+2=0}\) jest dwukrotnościa drugiego?

3.Dla jakich wartości parametru m suma odwrotności pierwiastków rzeczywistych równania \(\displaystyle{ 2x^2-2mx+m^2-2=0}\) jest równa 2?

Lady Tilly · Post autor: **Lady Tilly** » 23 paź 2005, o 18:12

Jeżeli chodzi o pierwsze zadanie to jeżeli jeden i drugi wielomian mają po jednym pierwiastku to korzystasz ze wzoru: \(\displaystyle{ x_{0}=\frac{-b}{2a}}\) czyli otrzymujesz \(\displaystyle{ \frac{3m+2}{4}=\frac{9m-2}{8}}\) i rozwiązaniem jest m=2 w odu następnych zadaniach korzystasz ze wzorów Viete'a

[ Dodano: Nie Paź 23, 2005 7:53 pm ]
W drugim zadaniu możesz przeanalizować podobny przykład obliczany już na forum
https://matematyka.pl/viewtopic.php?t=7784

[ Dodano: Nie Paź 23, 2005 7:58 pm ]
No a w trzecim przypadku zapisujesz \(\displaystyle{ \frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}=2}\) mnożąc obie strony przez \(\displaystyle{ x_{1}{\cdot}x_{2}}\) otrzymujesz \(\displaystyle{ x_{2}+x_{1}=2{\cdot}x_{1}{\cdot}x_{2}}\) i korzystasz ze wzorów Viete'a oczywiście jeszcze Δ>0

paweb · Post autor: **paweb** » 23 paź 2005, o 19:37

Czyli w tym drugim warunki beda takie

\(\displaystyle{ \left{\begin{array}{l}(k^2-5k+3)\neq 0\\\Delta>0\\x_{1}=2x_{2}\end{array}\right.}\)

Lady Tilly · Post autor: **Lady Tilly** » 23 paź 2005, o 20:23

Tak

paweb · Post autor: **paweb** » 23 paź 2005, o 20:27

Ale w pierwszym nie mamy podane ze \(\displaystyle{ \Delta=0}\) Wiec nie mozna chyba przyjac ze jest \(\displaystyle{ x=\frac{-b}{2a}}\) A w pierwszym ma wyjsc m=3

A w drugim to co napisalem 2 warunki obliczylem delte ale co zrobic z 3 warunkiem zeby obliczyc K ???

Lady Tilly · Post autor: **Lady Tilly** » 23 paź 2005, o 21:02

Wielomian posiada jeden pierwiastek gdy Δ=0 a w zadaniu jest to warunek wystarczający, żeby ten pierwiastek był wspólny dla obu wielomianów gdy m spełnia określone wielkości-tym się sugerowałam. A w drugim zadaniu ostatecznie korzystasz ze wzoru \(\displaystyle{ (x_{1}+x_{2})^{2}=3,5{\cdot}x_{1}{\cdot}x_{2}}\) czyli \(\displaystyle{ x_{1}+x_{2}=\frac{-b}{a}}\) oraz \(\displaystyle{ x_{1}{\cdot}x_{2}=\frac{c}{a}}\)

paweb · Post autor: **paweb** » 23 paź 2005, o 21:17

wiem i tak zrobilem i ostattecznie wyszło \(\displaystyle{ \frac{(2k^2 + 29k - 20)}{(k^2 - 5k + 3)^2}}\)

i z tego wychodza astronomiczne wyniki a ma wyjsc k=2/3

Lady Tilly · Post autor: **Lady Tilly** » 24 paź 2005, o 18:38

Mam pomysł. Zrób to troszkę inaczej a mianowicie tak:
Masz warunek:
\(\displaystyle{ x_{1}=2{\cdot}x_{2}}\) więc ze wzorów na miejsca zerowe będziesz miał
\(\displaystyle{ \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=2{\cdot}(\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a})}\)
teraz obie strony mnożysz przez 2a i otrzymujesz \(\displaystyle{ -b-sqrt{\Delta}=2(-b+\sqrt{\Delta})}\) opuszczasz nawiasy robisz porządek podnosisz obie strony do kwadratu i ostatecznie otrzymujesz \(\displaystyle{ b^{2}=9\Delta}\) podstawiasz więc do wzoru i otrzymujesz \(\displaystyle{ (3k-1)^{2}=9(k^{2}+34k-23)}\) po rozwiązaniu równania otrzymasz k=0,66666... czyli \(\displaystyle{ k=\frac{2}{3}}\) i teraz wszystko gra i buczy