udowodnij i wykaz

[wojskib]

1. Udowodnij, że jeżeli wielomian \(\displaystyle{ x^{3} + ax + b}\) ma pierwiastek podwójny, to \(\displaystyle{ 4a^{3} + 27b^{2} = 0}\)

2. Dany jest wielomian \(\displaystyle{ W(x) = x^{3}-x}\) Wykaż, że dla dowolnej liczby całkowitej k W(k) jest podzielna przez 6

[frej]

2. Chyba powinno być \(\displaystyle{ W(x)=x^3-x=(x-1)x(x+1)}\)
Iloczyn \(\displaystyle{ 3}\) kolejnych liczb jest podzielny przez \(\displaystyle{ 3!=6}\).

[wojskib]

tak, moj blad, dzieki

[RyHoO16]

ZAD.1.:
Jeżeli wielomian mam pierwiastek to \(\displaystyle{ \begin{cases} W(x)=0 \\ W'(x)=0 \end{cases} \iff \begin{cases} a=-3x^2 \\ b=2x^3 \end{cases}}\)

Teraz podstawiamy do wyjściowego równania czyli \(\displaystyle{ 4a^{3} + 27b^{2} = 4 (-3x^2)^3+27 (2x^3)^2=0}\) C.N.D

PS. Gdzieś to już rozwiązałem, więc jak potrzebujesz sprecyzowanych obliczeń to poszukaj na forum ,dużo tego było.

[Qń]

1. Udowodnij, że jeżeli wielomian \(\displaystyle{ x^{3} + ax + b}\) ma pierwiastek podwójny, to \(\displaystyle{ 4a^{3} + 27b^{2} = 0}\)

Można też tak:

Mamy:
\(\displaystyle{ x^3+ax+b=(x-c)^2(x-d)=x^3-(2c+d)x^2+(2dc+c^2) -dc^2}\)
a stąd:
\(\displaystyle{ \begin{cases}
2c+d= 0 \\
2dc+c^2 = a \\
-dc^2 = b
\end{cases}}\)
Po wyznaczeniu \(\displaystyle{ d}\) z pierwszego równania i wstawieniu tego do pozostałych równań dostajemy:
\(\displaystyle{ \begin{cases}
-3c^2 = a \\
-2c^3 = b
\end{cases}}\)
Pierwsze równanie podnosimy do trzeciej potęgi, a drugie do drugiej:
\(\displaystyle{ \begin{cases}
-27c^6 = a^3 \\
4c^6 = b^2
\end{cases}}\)
Z drugiego równana wyznaczamy \(\displaystyle{ c^6}\), wstawiamy do pierwszego i dostajemy tezę.

Q.

[Mersenne]

Zad. 1

\(\displaystyle{ W(x)=x^{3}+ax+b}\)

Niech \(\displaystyle{ m}\) będzie pierwiastkiem podwójnym wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\). Wtedy dany wielomian jest podzielny przez \(\displaystyle{ (x-m)^{2}}\).

\(\displaystyle{ W(x)=(x-m)^{2} (x-k)}\)

W wyniku dzielenia otrzymamy resztę \(\displaystyle{ R=x(3m^{2}+a)-2m^{3}+b}\), która musi być wielomianem zerowym, czyli będzie zachodziło:

\(\displaystyle{ \begin{cases} 3m^{2}+a=0 \\ -2m^{3}+b=0 \end{cases}\iff \begin{cases} a=-3m^{2} \\ b=2m^{3} \end{cases}}\)

Wówczas mamy: \(\displaystyle{ 4a^{3}+27b^{2}=4(-3m^{2})^{3}+27(2m^{3})^{2}=-108m^{6}+108m^{6}=0}\)

c.n.d.

[wojskib]

dziekuje wam wszystkim