wielomian - wartość najmniejsza

[szymek12]

Oblicz najmniejszą wartość funkcji\(\displaystyle{ f(m)=m ^{4}+3m ^{3}-m ^{2}+3m-2}\) dla \(\displaystyle{ m }\)

[frej]

\(\displaystyle{ m^4+3m^3-m^2+3m-2=(m^2+3m-2)(m^2+1)}\)
Pierwszy czynnik rozłóż na czynniki liniowe, narysuj wykres.

[Lider_M]

@frej, ale to w niczym nie pomoże niestety.
Lepiej obliczyć pochodną, zbadać ekstrema, obliczyć ich wartości (jeżeli lezą w danym przedziale). Ponadto obliczyć wartości na końcach przedziału i zbadać, która z nich jest najmniejsza.

[Mersenne]

\(\displaystyle{ f(m)=m^{4}+3m^{3}-m^{2}+3m-2}\)
\(\displaystyle{ D_{f}=\mathbb R}\)
założenie: \(\displaystyle{ m\in }\)

Obliczamy wartości danej funkcji na końcach przedziału:
\(\displaystyle{ f(2)=40}\)
\(\displaystyle{ f(4)=442}\)

Obliczamy ekstrema danej funkcji:
\(\displaystyle{ f'(m)=4m^{3}+9m^{2}-2m+3}\)
\(\displaystyle{ D_{f'}=\mathbb R}\)

\(\displaystyle{ f'(m)=0\iff 4m^{3}+9m^{2}-2m+3=0}\)
Powyższe równanie nie posiada pierwiastków wymiernych.

Teraz należy pokazać, że funkcja \(\displaystyle{ f(m)}\) jest rosnąca w danym przedziale.

\(\displaystyle{ f'(m)=4m^{3}+9m^{2}-2m+3 \geqslant 4\cdot 2^{3}+9\cdot 2^{2}-2\cdot4+3=63>0}\) w danym przedziale

Pochodna \(\displaystyle{ f'(m)}\) przyjmuje w danym przedziale wartości dodatnie, zatem funkcja \(\displaystyle{ f(m)}\) jest rosnąca w danym przedziale.

Stąd funkcja przyjmuje najmniejszą wartość w przedziale \(\displaystyle{ }\) dla argumentu \(\displaystyle{ m=2}\) równą \(\displaystyle{ 40}\).