wielomian - wartość najmniejsza
wielomian - wartość najmniejsza
\(\displaystyle{ m^4+3m^3-m^2+3m-2=(m^2+3m-2)(m^2+1)}\)
Pierwszy czynnik rozłóż na czynniki liniowe, narysuj wykres.
Pierwszy czynnik rozłóż na czynniki liniowe, narysuj wykres.
- Lider_M
- Użytkownik
- Posty: 867
- Rejestracja: 6 maja 2005, o 12:50
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: MiNI PW
- Pomógł: 258 razy
wielomian - wartość najmniejsza
@frej, ale to w niczym nie pomoże niestety.
Lepiej obliczyć pochodną, zbadać ekstrema, obliczyć ich wartości (jeżeli lezą w danym przedziale). Ponadto obliczyć wartości na końcach przedziału i zbadać, która z nich jest najmniejsza.
Lepiej obliczyć pochodną, zbadać ekstrema, obliczyć ich wartości (jeżeli lezą w danym przedziale). Ponadto obliczyć wartości na końcach przedziału i zbadać, która z nich jest najmniejsza.
- Mersenne
- Użytkownik
- Posty: 1010
- Rejestracja: 27 cze 2005, o 23:52
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Bytom/Katowice
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 303 razy
wielomian - wartość najmniejsza
\(\displaystyle{ f(m)=m^{4}+3m^{3}-m^{2}+3m-2}\)
\(\displaystyle{ D_{f}=\mathbb R}\)
założenie: \(\displaystyle{ m\in }\)
Obliczamy wartości danej funkcji na końcach przedziału:
\(\displaystyle{ f(2)=40}\)
\(\displaystyle{ f(4)=442}\)
Obliczamy ekstrema danej funkcji:
\(\displaystyle{ f'(m)=4m^{3}+9m^{2}-2m+3}\)
\(\displaystyle{ D_{f'}=\mathbb R}\)
\(\displaystyle{ f'(m)=0\iff 4m^{3}+9m^{2}-2m+3=0}\)
Powyższe równanie nie posiada pierwiastków wymiernych.
Teraz należy pokazać, że funkcja \(\displaystyle{ f(m)}\) jest rosnąca w danym przedziale.
\(\displaystyle{ f'(m)=4m^{3}+9m^{2}-2m+3 \geqslant 4\cdot 2^{3}+9\cdot 2^{2}-2\cdot4+3=63>0}\) w danym przedziale
Pochodna \(\displaystyle{ f'(m)}\) przyjmuje w danym przedziale wartości dodatnie, zatem funkcja \(\displaystyle{ f(m)}\) jest rosnąca w danym przedziale.
Stąd funkcja przyjmuje najmniejszą wartość w przedziale \(\displaystyle{ }\) dla argumentu \(\displaystyle{ m=2}\) równą \(\displaystyle{ 40}\).
\(\displaystyle{ D_{f}=\mathbb R}\)
założenie: \(\displaystyle{ m\in }\)
Obliczamy wartości danej funkcji na końcach przedziału:
\(\displaystyle{ f(2)=40}\)
\(\displaystyle{ f(4)=442}\)
Obliczamy ekstrema danej funkcji:
\(\displaystyle{ f'(m)=4m^{3}+9m^{2}-2m+3}\)
\(\displaystyle{ D_{f'}=\mathbb R}\)
\(\displaystyle{ f'(m)=0\iff 4m^{3}+9m^{2}-2m+3=0}\)
Powyższe równanie nie posiada pierwiastków wymiernych.
Teraz należy pokazać, że funkcja \(\displaystyle{ f(m)}\) jest rosnąca w danym przedziale.
\(\displaystyle{ f'(m)=4m^{3}+9m^{2}-2m+3 \geqslant 4\cdot 2^{3}+9\cdot 2^{2}-2\cdot4+3=63>0}\) w danym przedziale
Pochodna \(\displaystyle{ f'(m)}\) przyjmuje w danym przedziale wartości dodatnie, zatem funkcja \(\displaystyle{ f(m)}\) jest rosnąca w danym przedziale.
Stąd funkcja przyjmuje najmniejszą wartość w przedziale \(\displaystyle{ }\) dla argumentu \(\displaystyle{ m=2}\) równą \(\displaystyle{ 40}\).