Wyznaczyc pierwiastki wielomianu.

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
jop
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 35
Rejestracja: 4 sie 2008, o 22:32
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: nie wiem
Podziękował: 13 razy

Wyznaczyc pierwiastki wielomianu.

Post autor: jop »

hej.
mam dalej problem z pewnym zadaniem (w sumie nie tylko tym, ale po woli bede wrzucac te ktorych nie mogę ;/). Otóż:
"Reszta z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ x^{3}+px^{2}-x+q}\) przez trójmian \(\displaystyle{ (x+2)^{2}}\) wynosi \(\displaystyle{ 1-x}\). Wyznacz pierwiastki tego wielomianu"
pozdrawiam
lukasz1804
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4438
Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 1313 razy

Wyznaczyc pierwiastki wielomianu.

Post autor: lukasz1804 »

Z treści zadania wynika, że wielomian \(\displaystyle{ (x^3+px^2-x+q)-(1-x)=x^3+px^2+q-1}\) jest podzielny (bez reszty) przez \(\displaystyle{ (x+2)^2}\).
Zatem istnieje liczba \(\displaystyle{ c\in\mathbb{R}}\) taka, że
\(\displaystyle{ x^3+px^2+q-1=(x+c)(x+2)^2}\).
Stąd mamy \(\displaystyle{ x^3+px^2+q-1=x^3+(c+4)x^2+(4c+4)x+4c}\). Wobec równości dwóch wielomianów dostajemy układ równań postaci
\(\displaystyle{ \begin{cases} p=c+4 \\ 4c+4=0 \\ 4c=q-1 \end{cases}}\).
Stąd łatwo dostajemy, że c=-1 i w konsekwencji p=(-1)+4=3 oraz q=4(-1)+1=-3.
jop
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 35
Rejestracja: 4 sie 2008, o 22:32
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: nie wiem
Podziękował: 13 razy

Wyznaczyc pierwiastki wielomianu.

Post autor: jop »

troche tak dziwnie z tym odjeciem tej reszty. podobne zadania jakos inaczej robilem, ale tego tak nie moglem wiec dzieki
ODPOWIEDZ