Uzasadnij, że...

[gosia19]

a) Uzasadnij, że dla każdej liczby całkowitej n wartość wielomianu \(\displaystyle{ n^{3}-n}\) jest liczbą podzielną przez 3.
b) Wykaż, że dla dowolnej liczby całkowitej n wartość wielomianu \(\displaystyle{ n^{4}- 2n^{3}+n^{2}}\) jest liczbą podzielną przez 4.
c) Uzasadnij, że dla dowolnej liczby całkowitej n wartość wielomianu \(\displaystyle{ n^{5}-n}\) jest liczbą podzielną przez 6.

[natkoza]

\(\displaystyle{ n^3-n=n(n^2-1)=(n-1)n(n+1)}\)
zatem mamy iloczyn3 kolejnych liczb naturalnych zatem (co najmniej) jedna z nich jest parzysta i dokładnie jedna jest podzielna przez 3, czyli cały iloczyn jest podzielny przez 3

[gosia19]

Dzięki, bardzo mi pomogłaś:)


To może jeszcze ktoś rozwiąże b i c, bo to też mi jakoś nie wychodzi.

[Lider_M]

b) \(\displaystyle{ n^4-2n^3+n^2=n^2(n-1)^2=\left(n(n-1)\right)^2}\)
Iloczyn \(\displaystyle{ n(n-1)}\) jako iloczyn dwóch kolejnych liczb całkowitych dzieli się przez \(\displaystyle{ 2}\), więc jego kwadrat dzieli sie przez \(\displaystyle{ 2^2=4}\).

Podobnie zrób c)

[adamos64]

Lider M a moglbys zrobic pdpkt c) bo jest zbyt bardzo skomplikowany i licze i licze a wynik nie wychodzi

[Lider_M]

\(\displaystyle{ n^5-n=n(n^4-1)=n(n^2-1)(n^2+1)=n(n-1)(n+1)(n^2+1)}\)
I teraz: iloczyn \(\displaystyle{ (n-1)n(n+1)}\) jest iloczyn trzech kolejnych liczb naturalnych, więc dzieli się przez \(\displaystyle{ 3!=6}\).