Zadania rózne - wyjasnienie.

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
Awatar użytkownika
marcinn12
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 882
Rejestracja: 23 sty 2007, o 15:06
Płeć: Kobieta
Podziękował: 61 razy
Pomógł: 193 razy

Zadania rózne - wyjasnienie.

Post autor: marcinn12 »

Mam mnóstwo zadań ale nie znam wiem jak je rozwiązywać. Cześć jest podobna wieć zamieszcze tuta przykładowe i liczę na waszą pomoc. Chodzi mi nalepiej o dokładne rozwiązanie tak jak w arkuszu maturalnym, żeby wiedzieć na co mam zwracać uwagę. Poźniej postaram się zrobić sam pozostałe zadania

1)Wielomian W(x) przy dzieleniu przez wielomiany (x+1),(x+2),(x-3) daje reszty odpowiednio równe 5,2,27. Wyznacz resztę z dzielenia tego wielomianu przez wielomian P(x)=(x+1)(x+2)(x-1).

2)Reszta z dzielenia welomianu W(x) przez Wielomian \(\displaystyle{ P(x)= x^{3} + 8}\) jest trójmianem kwadratowym\(\displaystyle{ R(x)=3x ^{2} - 5x +2}\). Wyznacz resztę z dzielenia tego wielomianu przez dwumian (x+2)

3)Reszta z dzelenia wielomianu W(x) przez wielomian\(\displaystyle{ P(x)=x ^{4} + x ^{3} -3x ^{2} -4x-4}\)jest wielomianem \(\displaystyle{ R(x)=x ^{3} - 5x +1}\). Wyznacz resztę z dzielenia tego wielomianu przez wielomian \(\displaystyle{ F(x)=x ^{2} -4}\).

4) Dla jakich wartości parametrów a,b wielomian W(x) jest podzielny przez wielomian P(x), jeśli:
a) \(\displaystyle{ W(x)=x^{4}-2x ^{3}-3x+b, P(x)=x ^{2} -3x+3}\)


Na razie proste zadania. Muszę opanować podstawy a poźniej przejdę do trudnieszych. Dzięki za każdą pomoc.

[ Dodano: 17 Sierpnia 2008, 14:11 ]
Wiem, że są wakacje ale naprawdę nikt ?
Awatar użytkownika
Lider_M
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 867
Rejestracja: 6 maja 2005, o 12:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: MiNI PW
Pomógł: 258 razy

Zadania rózne - wyjasnienie.

Post autor: Lider_M »

2)
Więc:
\(\displaystyle{ W(x)=Q(x)P(x)+R(x)}\) dla pewnego wielomianu \(\displaystyle{ Q(x)}\)
\(\displaystyle{ W(x)=Q(x)(x+2)(x^2-2x+4)+3x^2-5x+2}\) (*)
Teraz szukamy reszty \(\displaystyle{ R_2=c}\), takiej, że:
\(\displaystyle{ W(x)=Q_2(x)(x+2)+c}\), korzystając z równości (*) mamy, że:

\(\displaystyle{ Q(x)(x+2)(x^2-2x+4)+3x^2-5x+2=Q_2(x)(x+2)+c}\)
Wstawiamy teraz do tej równości \(\displaystyle{ -2}\), i otrzymujemy:

\(\displaystyle{ Q(-2)\cdot 0\cdot (4+4+4)+12+10+2=Q_2(-2)\cdot 0+c}\)
I stąd wyliczamy \(\displaystyle{ c=24}\)
tasior_01
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8
Rejestracja: 14 sie 2008, o 13:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Iłża/PŃ
Podziękował: 4 razy

Zadania rózne - wyjasnienie.

Post autor: tasior_01 »

4)

Dzielisz normalnie te wielomiany i na koniec zostaje Ci reszta = b , żeby wielomian był podzielny wystarczy że reszta b będzie równa 0 zatem b=0. a co do parametru 'a' nie wiem gdzie on jest :)
frej

Zadania rózne - wyjasnienie.

Post autor: frej »

1) Stopień reszty jest mniejszy od wielomianu przez który dzielimy, więc reszta jest postaci
\(\displaystyle{ W(x)=Q(x)\cdot (x+1)(x+2)(x-3)+ax^2+bc+c}\)

Wiemy też, że
\(\displaystyle{ \begin{cases} W(-1)=Q(-1) 0\cdot 1\cdot (-4) +a-b+c=a-b+c=5\\ W(-2)=Q(-2) (-1) 0 (-5) +4a-2b+c=4a-2b+c=2 \\ W(3)=Q(3) 4\cdot 5 0 +9a+3b+c=9a+3b+c=27 \end{cases}}\)

wystarczy teraz rozwiązać ten układ równan.
Awatar użytkownika
marcinn12
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 882
Rejestracja: 23 sty 2007, o 15:06
Płeć: Kobieta
Podziękował: 61 razy
Pomógł: 193 razy

Zadania rózne - wyjasnienie.

Post autor: marcinn12 »

A kto pomoze z 3 i 4? Tzn tak ladnie mi to rozpisze.

To lecimy dalej z tym koksem, teraz mam pierwiastki wielomianów i tw. bezouta.


Zad 5
Wyznacz takie wartosci parametrow a i b, aby liczby\(\displaystyle{ r _{1}}\) i \(\displaystyle{ r _{2}}\) były pierwiastkami wielomianu W(x), jeśli:
a)\(\displaystyle{ W(x)=x ^{3} +ax ^{2} -4x +b, r _{1} =-3, r _{2} =2}\)

Zad 6
Wyznacz zbiór liczb wymiernych, które mogą być pierwiastkami wielomianu W(x) eśli:
a) \(\displaystyle{ w(x)=2x ^{3} +6x ^{2} -3x+1}\)

Zad 7
Dla jakich wartości parametrów a,b,c liczba r jest trzykrotnym pierwiastkiem wielomianu W(x) jesli:
a)\(\displaystyle{ W(x)=x ^{4}-2x ^{3} +ax+b, r=1?}\)

Zad 8
Wiedzac, że liczba r est pierwiastkiem wielomianu W(x) znajdź pozostałe pierwiastki tego wielomianu:
a) \(\displaystyle{ W(x)=x ^{4} -5x ^{2} +4, r=1}\)


I jezeli ktos ma ksiazke z wielomianamy i przykladowymy zadaniami z rozwi prosze o sany lub zdjecia. Potrzebuje tego na juz ... ;(
Awatar użytkownika
Mersenne
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1010
Rejestracja: 27 cze 2005, o 23:52
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Bytom/Katowice
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 303 razy

Zadania rózne - wyjasnienie.

Post autor: Mersenne »

Zad. 5

\(\displaystyle{ \begin{cases} W(-3)=0 \\ W(2)=0 \end{cases}}\)

Zad. 6

\(\displaystyle{ A=\left \{-1,-\frac{1}{2},\frac{1}{2},1 \right\}}\)

Zad. 7

Liczba \(\displaystyle{ r=1}\) jest trzykrotnym pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\), czyli dany wielomian jest podzielny przez \(\displaystyle{ (x-1)^{3}}\). W wyniku dzielenia otrzymamy resztę \(\displaystyle{ R=x(a-2)+1+b}\), która musi być wielomianem zerowym, czyli musi zachodzić: \(\displaystyle{ a-2=0 1+b=0 \iff a=2\wedge b=-1}\).

Zad. 8

Liczba \(\displaystyle{ r=1}\) jest pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\), czyli dany wielomian jest podzielny przez dwumian \(\displaystyle{ (x-1)}\). W wyniku dzielenia otrzymamy wielomian \(\displaystyle{ Q(x)=x^{3}+x^{2}-4x-4}\). Stąd mamy: \(\displaystyle{ W(x)=(x-1)(x^{3}+x^{2}-4x-4)}\).

\(\displaystyle{ W(x)=(x-1)(x^{3}+x^{2}-4x-4)=(x-1)[x^{2}(x+1)-4(x+1)]=}\)
\(\displaystyle{ =(x-1)(x+1)(x^{2}-4)=(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)}\)

Pierwiastkami wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\) są liczby \(\displaystyle{ -2,-1,1,2}\).
Awatar użytkownika
marcinn12
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 882
Rejestracja: 23 sty 2007, o 15:06
Płeć: Kobieta
Podziękował: 61 razy
Pomógł: 193 razy

Zadania rózne - wyjasnienie.

Post autor: marcinn12 »

Mersenne a skąd takie wyniki w 6? Mozesz mi objasnić... jak już pisałem wyżej nie mam książek z wytlumaczeniem i robie to po omacku ;/

Prosiłbym tez o pomoc z zadaniem 3 i 4 w pierwszym poscie.
xbw
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 78
Rejestracja: 3 mar 2008, o 17:02
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Milky Way
Pomógł: 20 razy

Zadania rózne - wyjasnienie.

Post autor: xbw »

Korzystamy z tzw. twierdzenia o wymiernych pierwiastkach wielomianu, które brzmi:

"Dla każdego wielomianu o współczynnikach całkowitych istnieje pierwiastek wymierny p/q , w którym p jest dzielnikiem wyrazu wolnego, a q wyrazu przy najwyższej potędze wielomianu"
Awatar użytkownika
marcinn12
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 882
Rejestracja: 23 sty 2007, o 15:06
Płeć: Kobieta
Podziękował: 61 razy
Pomógł: 193 razy

Zadania rózne - wyjasnienie.

Post autor: marcinn12 »

A teraz coś specjal, latexem chyba nie da rady ^^

Dla akich wartości parametrów a,b liczba r jest dwukrotny pierwiastkiem wielomianu w(x) jeśli:
c) \(\displaystyle{ W(x)= x^{4} +(a+b)x ^{3} +(a-b)x ^{2} -6x+9, r=3?}\)
e) \(\displaystyle{ W(x)=x ^{4} +(a-b)x ^{3} +(a-b)x ^{2} +8x+8}\)

Niby proste ale w praktyce to juz nie;/ próbuj to dzielić przez dwumian ale za cięzko jest. Pokaze mi ktos jak sie za to zabrac? Bo mam sporo takich przykladów. Moga byc zdecia, skany, jesli będzie wam wygodniej.

I jeszcze jedno:
Rozłóz na czynniki wielomiany:
d)\(\displaystyle{ W(x)=4x ^{4} -12x ^{3} +25z ^{2} -48x+36}\)
Awatar użytkownika
Mersenne
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1010
Rejestracja: 27 cze 2005, o 23:52
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Bytom/Katowice
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 303 razy

Zadania rózne - wyjasnienie.

Post autor: Mersenne »

c) \(\displaystyle{ W(x)=x^{4}+(a+b)x^{3}+(a-b)x^{2}-6x+9}\)

Jeżeli liczba \(\displaystyle{ r=3}\) jest dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\), to dany wielomian jest podzielny przez \(\displaystyle{ (x-3)^{2}}\). W wyniku dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\) przez \(\displaystyle{ (x^{2}-6x+9)}\) otrzymamy resztę \(\displaystyle{ R=x(102+33a+21b)-234-63a-45b}\), która musi być wielomianem zerowym, czyli będzie zachodziło:

\(\displaystyle{ \begin{cases} 33a+21b+102=0 \\ -63a-45b-234=0 \end{cases}\iff \begin{cases} a=2 \\ b=-8 \end{cases}}\)

Odp.: Dla \(\displaystyle{ a=2 b=-8}\) liczba \(\displaystyle{ r=3}\) jest dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\).

Analogicznie postępujesz w kolejnym przypadku.

Rozłóż wielomian na czynniki:
\(\displaystyle{ W(x)=4x^{4}-12x^{3}+25x^{2}-48x+36}\)

\(\displaystyle{ W\left(\frac{3}{2} \right)=0}\), czyli dany wielomian jest podzielny przez dwumian \(\displaystyle{ \left (x-1\frac{1}{2} \right)}\). Stąd otrzymamy:

\(\displaystyle{ W(x)= ft(x-1\frac{1}{2} \right) ft(4x^{3}-6x^{2}+16x-24 \right)=}\)
\(\displaystyle{ =\left(x-1\frac{1}{2}\right) [4x(x^{2}+4)-6(x^{2}+4)]=\left(x-1\frac{1}{2}\right)(x^{2}+4)(4x-6)=}\)
\(\displaystyle{ =4\left(x-1\frac{1}{2} \right)^{2} (x^{2}+4)}\)
Awatar użytkownika
marcinn12
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 882
Rejestracja: 23 sty 2007, o 15:06
Płeć: Kobieta
Podziękował: 61 razy
Pomógł: 193 razy

Zadania rózne - wyjasnienie.

Post autor: marcinn12 »

Mersenne co do c to wiem, był analogiczny przykład wyżej. Ale mi chodzi o moment dzielenia wielomianu W(x) przez dwumian. Tutaj sie gubię (bo są te a,b i nie wiem jak to wyłączać), a chciałbym zobaczyć schemat rozpisywanie tego. Dzięki za Twoją "reszte", bede próbował otrzymac taki wynik jak nikt nie odpowie. pozdrawiam

[ Dodano: 3 Września 2008, 15:49 ]
... miałem nadzieje...

dzisiaj dostałem 2 kolejne zadania od P. Kiełbasy ...

1) Jednym z rozw. równania \(\displaystyle{ x ^{4} +11 x^{2} +dx+30=5x ^{3}}\) jest 3. Wyznacz współ. d. Znajdź pozostałe rozwiązania danego równania.

Niby zadanie proste ale mi wychodzi tutaj d=-25 i dalej nie wiem co robić xD

2) Wyznacz resztę z dzielenia wielomianu W(x) równego \(\displaystyle{ 2x ^{4} +4x ^{3} +ax ^{2} +bx+2}\) przez dwumuian x-1 wiedząc, że funkcja \(\displaystyle{ F(x)=ax ^{2} +bx+2}\) dla x=3 osoiaga max równe 11.

To już troche trudniejsze, proszę o podpowiedz. Podzieliłem ten wielomian przez dwumian i wyszło mi \(\displaystyle{ 2x ^{3} +6x ^{2}}\) wiec z tego wynika że \(\displaystyle{ W(x)=(2x ^{3} +6x ^{2} )(x-1)+(a+6)x ^{2} +bx+6.}\)

Z drugiego wiemy, że F(3)=11 i z tego wychodzi że 3a+b=3 ... i tutaj zakończyłem zadanie, próboiwałem teraz uklad równan ale nie wychodzi.
Awatar użytkownika
Sylwek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2716
Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 160 razy
Pomógł: 657 razy

Zadania rózne - wyjasnienie.

Post autor: Sylwek »

To są proste zadanka, może wypadałoby się troszkę pouczyć?

1) \(\displaystyle{ P(x)=x^4-5x^3+11x^2+dx+30}\), z danych zadania: \(\displaystyle{ P(3)=0 \iff 81-135+99+3d+30=0 \iff d=-25}\), poszukanie pozostałych pierwiastków to prosta zabawa


2) \(\displaystyle{ 11=F(3)=9a+3b+2}\), a także x=3 jest wierzchołkiem, zatem: \(\displaystyle{ 3=\frac{-b}{2a}}\), z tego: \(\displaystyle{ b=-6a}\) oraz: \(\displaystyle{ 3=3a+b=3a-6a=-3a \iff a=-1 \iff b=6}\) - poszukiwana reszta wynosi \(\displaystyle{ W(1)}\)
Awatar użytkownika
marcinn12
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 882
Rejestracja: 23 sty 2007, o 15:06
Płeć: Kobieta
Podziękował: 61 razy
Pomógł: 193 razy

Zadania rózne - wyjasnienie.

Post autor: marcinn12 »

No wlasnie obliczylem d ale nie wiem jak wyznaczyc te poztsałe pierwiastki. A nadrabiam powoli czytając z ksiązki niestety tam jest mało.
Awatar użytkownika
Sylwek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2716
Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 160 razy
Pomógł: 657 razy

Zadania rózne - wyjasnienie.

Post autor: Sylwek »

1) Sorki, nie doczytałem
\(\displaystyle{ x^4-5x^3+11x^2-25x+30=(x-3)(x-2)(x^2+5)}\) - wystarczy skorzystać z twierdzenia o pierwiastkach wymiernych wielomianu.
ODPOWIEDZ