wielomian, parametr i ciąg arytmetyczny

[crucifix]

Dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ m}\) równanie \(\displaystyle{ x^{3}-2(1+m)x^{2}+(1+m-3m^{2})x+3m^{2}+m=0}\) ma trzy różne rozwiązania, które są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego?

[alchemik]

Zauważ, że f(1)=0 bez względu na parametr m, możesz podzielić wielomian przez (x-1) i otrzymujesz równanie kwadratowe, a z tym będzie już dużo łatwiej.

[Qń]

Równanie jest równoważne:
\(\displaystyle{ (x-1)(x+m)(x-1-3m)=0}\)
czyli jego pierwiastkami są \(\displaystyle{ 1,-m,1+3m}\)

Żeby tworzyły one ciąg arytmetyczny, suma pewnych dwóch musi być równa podwojonemu trzeciemu. Są trzy możliwości:
* \(\displaystyle{ 2=-m+1+3m m=\frac{1}{2}}\) i pierwiastki to: \(\displaystyle{ -\frac{1}{2},1,\frac{5}{2}}\)
**\(\displaystyle{ -2m=1+1+3m m=-\frac{2}{5}}\) i pierwiastki to: \(\displaystyle{ -\frac{1}{5},\frac{2}{5},1}}\)
***\(\displaystyle{ 2+6m=1-m m=-\frac{1}{7}}\) i pierwiastki to: \(\displaystyle{ \frac{1}{7},\frac{4}{7},1}}\)

Ostatecznie więc \(\displaystyle{ m \{ \frac{1}{2},-\frac{2}{5}, -\frac{1}{7}\}}\)

Q.