oblicz wartość parametru

[Duda]

Kolejny problem tym razem z ciągu geometrycznego

Zad, Wyznacz iloraz ciągu geometrycznego q, wiedząc że:

\(\displaystyle{ a_1{} = 6}\)

\(\displaystyle{ a_5{} = \frac{2}{27}}\)

oraz

\(\displaystyle{ a_1{} = \frac{2}{3}}\)
\(\displaystyle{ a_7{} = \frac{1}{6144}}\)

Te dwa przykłady mnie przerosły, nie wiem jak je rozwiązać, proszę o pomoc.

[frej]

\(\displaystyle{ \begin{cases} a_1=6 \\ a_5=a_1 q^4=\frac{2}{27} \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ 6q^4=\frac{2}{27} q= \sqrt[4]{\frac{2}{27\cdot 6}}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} a_1=\frac{2}{3} \\ a_7=a_1 q^6=\frac{1}{6144} \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \frac{2}{3} q^6 =\frac{1}{6144} q= \sqrt[6]{\frac{3}{2\cdot 6144}}}\)

[Mersenne]

Dane:
\(\displaystyle{ \begin{cases}a_{1}=6 \\a_{5}=\frac{2}{27} \end{cases}}\)

Szukane:
\(\displaystyle{ q}\) -iloraz ciągu geometrycznego

Korzystamy ze wzoru na \(\displaystyle{ n}\)-ty wyraz ciągu geometrycznego:
\(\displaystyle{ a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1}}\), dla \(\displaystyle{ n qslant 2}\)

Stąd mamy:
\(\displaystyle{ a_{5}=a_{1}\cdot q^{4}}\)

Podstawiając:
\(\displaystyle{ 6q^{4}=\frac{2}{27}\iff q^{4}=\frac{1}{81}\iff q^{4}-\frac{1}{81}=0\iff}\)
\(\displaystyle{ \iff\left(q^{2}-\frac{1}{9}\right) ft(q^{2}+\frac{1}{9}\right)
=0\iff ft(q-\frac{1}{3} \right) ft(q+\frac{1}{3} \right) ft(q^{2}+\frac{1}{9}\right)=0\iff}\)
\(\displaystyle{ \iff q=-\frac{1}{3} q=\frac{1}{3}}\)

Analogicznie postępujesz w drugim przypadku.

[Duda]

Mersenne, dlaczego w podstawianiu jest \(\displaystyle{ 6q^4{} = \frac{2}{27}}\) a dalej jest już \(\displaystyle{ q^4{} = \frac{1}{81}}\)

Rozumiem że 27 pomnożyłaś przez 3 a co z tym 6 przy q oraz 2 w liczniku?

[frej]

Obie strony podzielone przez \(\displaystyle{ 6}\)

[Duda]

Nadal nie rozumiem, jak podzielę \(\displaystyle{ \frac{2}{27}}\) na \(\displaystyle{ 6}\), co znaczy że pomnożę przez \(\displaystyle{ 6}\)to wyjdzie \(\displaystyle{ \frac{3}{81}}\) ...

[xbw]

Podzielić \(\displaystyle{ \frac{a}{b}}\), to znaczy pomnożyć przez odwrotność b, czyli
\(\displaystyle{ \frac{a}{b}=a \frac{1}{b}}\)
\(\displaystyle{ \frac{2}{27} \frac{1}{6} = \frac{1}{81}}\)