a) Znajdz sumę wspolczynników przy nieparzystych
stopniach wielomanu P, s=?
b) Ile ekstremów ma wielomian P?
c) Znajdz rozkłąd P na czynniki
d) Ile wynosi wspólczynnik ak
\(\displaystyle{ P(x)=(x^5+x-1)^{2008}= \sum_k a_kx^k}\)
k=10038
s=\(\displaystyle{ \sum_{k } a_{2k+1}}\)
Jeden wielomian cztery kłopoty
-
mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11413
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3155 razy
- Pomógł: 748 razy
-
Wasilewski
- Użytkownik
- Posty: 3921
- Rejestracja: 10 gru 2007, o 20:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 36 razy
- Pomógł: 1194 razy
Jeden wielomian cztery kłopoty
a) Zauważmy, że:
\(\displaystyle{ W(1) = \sum_{k=0}^{n} a_{k} \\
W(-1) = \sum_{k=0}^{n} (-1)^{k} a_{k} \\
W(1) - W(-1) = 2 \sum_{k} a_{2k+1} \\
s = \frac{1 - 3^{2008}}{2}}\)
b) Pierwiastek ma jeden. Bo zeruje się tylko wtedy, gdy zeruje się wielomian:
\(\displaystyle{ x^5 + x - 1}\)
a on ma pierwiastek gdzieś między 0,5 a 1 (z własności Darboux). Ponadto wyrażenie to jest ściśle rosnące; pochodna to \(\displaystyle{ 5x^{4} +1}\). Pierwiastek jest stopnia parzystego, więc mamy w nim ekstremum (poza tym wiemy, że wielomian przyjmuje wartości nieujemne, więc jest to nawet ekstremum globalne). Czyli ekstremum mamy jedno.
c) Zdaje się, że będzie trudno.
\(\displaystyle{ W(1) = \sum_{k=0}^{n} a_{k} \\
W(-1) = \sum_{k=0}^{n} (-1)^{k} a_{k} \\
W(1) - W(-1) = 2 \sum_{k} a_{2k+1} \\
s = \frac{1 - 3^{2008}}{2}}\)
b) Pierwiastek ma jeden. Bo zeruje się tylko wtedy, gdy zeruje się wielomian:
\(\displaystyle{ x^5 + x - 1}\)
a on ma pierwiastek gdzieś między 0,5 a 1 (z własności Darboux). Ponadto wyrażenie to jest ściśle rosnące; pochodna to \(\displaystyle{ 5x^{4} +1}\). Pierwiastek jest stopnia parzystego, więc mamy w nim ekstremum (poza tym wiemy, że wielomian przyjmuje wartości nieujemne, więc jest to nawet ekstremum globalne). Czyli ekstremum mamy jedno.
c) Zdaje się, że będzie trudno.