Rozłóż wielomian na czynniki

nwnuinr · Post autor: **nwnuinr** » 7 sie 2008, o 19:22

\(\displaystyle{ (x^{2}-6)^{3}-8}\)

frej · Post autor: **frej** » 7 sie 2008, o 19:25

\(\displaystyle{ =(x^2-6)-2^3=(x^2-8)((x^2-6)^2+2(x^2-6)+4)=(x+2)(x-2)(x^4+36-12x^2+2x^2-12+4)=(x-2\sqrt{2})(x+2\sqrt{2})(x^4-10x^2+28)}\)
Korzystam z tego, że \(\displaystyle{ a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)}\).

JHN · Post autor: **JHN** » 7 sie 2008, o 19:29

frej pisze:\(\displaystyle{ =(x^2-6)-2^3=(x^2-4)((x^2-6)^2+2(x^2-6)+4)=(x+2)(x-2)(x^4+36-12x^2+2x^2-12+4)=\ldots}\)

Jeszcze kilka poprawek i będzie OK
Pozdrawiam

nwnuinr · Post autor: **nwnuinr** » 7 sie 2008, o 19:30

odpowiedzią w książce jest
\(\displaystyle{ (x-2 \sqrt{2})(x+2 \sqrt{2})(x^{4}-10x^{2}+28)}\)

RyHoO16 · Post autor: **RyHoO16** » 7 sie 2008, o 19:30

Korzystamy z tożsamości \(\displaystyle{ a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)}\) ,czyli
\(\displaystyle{ (x^{2}-6)^{3}-8=(x^{2}-6)^{3}-2^3=(x^2-8)(x^4-10x^2+28)=0}\)

nwnuinr · Post autor: **nwnuinr** » 7 sie 2008, o 20:16

a ten? niby już jest uproszczony a coś nie mogę ;s
\(\displaystyle{ 6x^{3}+2x^{2}+3x^{2}+15x+x+5}\)

Xadesik · Post autor: **Xadesik** » 7 sie 2008, o 20:34

\(\displaystyle{ 6x^{3}+2x^{2}+3x^{2}+15x+x+5 \\
2x^2(3x+1)+3x(x+5)+(x+5)\\
2x^2(3x+1)+(3x+1)(x+5)\\
(3x+1)(2x^2+x+5)}\)

nwnuinr · Post autor: **nwnuinr** » 7 sie 2008, o 22:56

dzięki, a próbowałem innym sposobem analogicznie robiąc, tylko tworząc inne "pary", lecz mi źle wychodzi, może ktoś to sprawdzić?
\(\displaystyle{ 6x^{3}+2x^{2}+3x^{2}+15x+x+5 \\
3x^{2}(2x+1)+x(2x+1)+5(3x+1) \\
(2x+1)(3x^{2}+x)+5(3x+1) \\
x(2x+1)(3x+1)+5(3x+1) \\
(2x+1)(3x+1)(x+5)}\)

frej · Post autor: **frej** » 7 sie 2008, o 22:59

Ostatni krok jest zły.
Powinno być:
\(\displaystyle{ x(2x+1)(3x+1)+5(3x+1)=(3x+1)(x(2x+1)+5)=(3x+1)(2x^2+x+5)}\).

nwnuinr · Post autor: **nwnuinr** » 8 sie 2008, o 09:40

co tutaj znowu nie tak robię? :/

\(\displaystyle{ 3x^{4}-5x^{3}+5x^{2}-5x+2 \\
3x^{4}-2x^{3}-3x^{3}+5x^{2}-5x+2 \\
3x^{3}(x-1)+5x(x-1)-2(x^{3}-1) \\
3x^{3}(x-1)+5x(x-1)-2(x-1)(x^{2}-x+1) \\
(x-1)(3x^{3}+5x-2(x^{2}-x+1)) \\
(x-1)(3x^{3}-2x^{2}+7x-2)}\)

chris139 · Post autor: **chris139** » 8 sie 2008, o 10:10

nwnuinr pisze:co tutaj znowu nie tak robię? :/

\(\displaystyle{ 3x^{3}(x-1)+5x(x-1)-2(x-1)(x^{2}-x+1) \\}\)

powinno być
\(\displaystyle{ 3x^{3}(x-1)+5x(x-1)-2(x-1)(x^{2}+x+1)}\)
pomyliłeś znak przy iksie

czyli będzie
\(\displaystyle{ (x-1)(3x^{3}+5x-2(x^{2}+x+1)) \\
(x-1)(3x^{3}-2x^{2}+3x-2)\\}\)

nwnuinr · Post autor: **nwnuinr** » 8 sie 2008, o 10:18

jeżeli taki wynik bym miał byłby on zaliczony? Ponieważ w książce jest
\(\displaystyle{ (x^{2}+1)(3x^{2}-5x+2)}\)

natkoza · Post autor: **natkoza** » 8 sie 2008, o 10:41

chris139 pisze:
czyli będzie
\(\displaystyle{ (x-1)(3x^{3}+5x-2(x^{2}+x+1)) \\
(x-1)(3x^{3}-2x^{2}+3x-2)\\}\)

a dalej będzie
\(\displaystyle{ =(x-1)(x^2(3x-2)+(3x-2))=(x-1)(3x-2)(x^2+1)}\)
i to jest dopiero ostateczny rozkład tego wielomianu

nwnuinr · Post autor: **nwnuinr** » 8 sie 2008, o 19:59

następny wielomian z którym mam problem:
\(\displaystyle{ x^{4}-4x^{3}+8x^2}-24x+12}\)

frej · Post autor: **frej** » 8 sie 2008, o 20:18

\(\displaystyle{ =x^4-4x^3+2x^2+6x^2-24x+12=x^2(x^2-4x+2)+6(x^2-4x+2)=(x^2+6)(x^2-4x+2)=(x^2+6)(x-2-\sqrt{2})(x-2+\sqrt{2})}\)