Pojęcie rozkładu wielomianu na czynniki
Ogólnie można powiedzieć, że jest na to kilka sposobów.
1) Wzory skróconego mnożenia
2) Grupowanie składników, wyłączanie przed nawias
3) Twierdzenie Bezout i twierdzenie o pierwiastkach wymiernych
1. Wzory skróconego mnożenia
Potrzebujesz znać takie wzory:
\(\displaystyle{ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2}\)
\(\displaystyle{ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2}\)
\(\displaystyle{ a^2-b^2=(a-b)(a+b)}\)
\(\displaystyle{ (a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3}\)
\(\displaystyle{ (a-b)^3=a^3-a^2b+ab^2-b^3}\)
\(\displaystyle{ a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)}\)
\(\displaystyle{ a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)}\)
Jeśli interesuje Cię więcej, spojrzyj
tutaj .
Przykładowe zadania:
zad.1
Rozłóż wielomian na czynniki
a)
\(\displaystyle{ x^2-7}\) b)
\(\displaystyle{ x^7-100x^5}\) c)
\(\displaystyle{ 49x^4 -\frac{1}{81}}\) d)
\(\displaystyle{ (x+3)^2+2(x+3)+1}\)
a) Zauważ, że można ten przykład przedstawić w postaci
\(\displaystyle{ x^2-(\sqrt{7})^2}\). Teraz łatwo można to rozłożyć wykorzystując wzór na różnicę kwadratów, mianowicie
\(\displaystyle{ x^2-(\sqrt{7})^2=(x+\sqrt{7})(x-\sqrt{7})}\).
Ogólnie, jeśli masz przykład
\(\displaystyle{ ax^m-b}\), to bardzo łatwo da się go rozwiązać jeśli wyciągnie się a przed nawias.
\(\displaystyle{ ax^m-b=a(x^m-\frac{b}{a})}\). Teraz jak zapewne się domyślasz można przekształcić to jeszcze tak:
\(\displaystyle{ =a(x^m-(\sqrt[m]{\frac{b}{a}})^m)}\) i zastosować wzór na
\(\displaystyle{ p^m-q^m}\). Jeśli m jest liczbą nieparzystą to
\(\displaystyle{ ax^m+b}\) można rozwiązać analogicznie, tj.
\(\displaystyle{ =a(x^m+\frac{b}{a})=a(x^m+(\sqrt[m]{\frac{b}{a}})^m)}\).
Dla przykładu rozłóż na czynniki wielomiany
\(\displaystyle{ -5x^2+5}\) i
\(\displaystyle{ 10x^3+50}\).
b) Pamiętaj o tym, że zawsze należy (jeśli można ) wyłączać jak najwięcej przed nawias (!), to bardzo pomaga. W naszym przypadku mamy
\(\displaystyle{ x^7-100x^5=x^5(x^2-100)}\). Teraz łatwo już zrobić to dalej korzystając w wzoru na różnicę kwadratów
\(\displaystyle{ =x^5(x^2-10^2)=x^5(x-10)(x+10)}\).
c) Masz te 7 wzorów, warto umieć je skojarzyć. Liczby
\(\displaystyle{ 49}\) i
\(\displaystyle{ \frac{1}{81}}\) przypominają kwadraty liczb, podobnie jest z
\(\displaystyle{ x^4=(x^2)^2}\). Nasz przykład wygląda więc tak:
\(\displaystyle{ 49x^4-\frac{1}{81}=(7x^2)^2-(\frac{1}{9})^2=(7x^2-\frac{1}{9})(7x^2+\frac{1}{9})}\). Pierwszy nawias skojarz z podpunktem a). Ten nawias nadal ma coś wspólnego ze wzorami skróconego mnożenia. Wykorzystując wskazówkę, która napisałem pod przykładem rozłóżmy jeszcze ten wielomian
\(\displaystyle{ (7x^2-\frac{1}{9})(7x^2+\frac{1}{9})=7(x^2-\frac{1}{63})(7x^2+\frac{1}{9})=7(x^2-(\sqrt{\frac{1}{63}})^2) (7x^2+\frac{1}{9})=7(x-\sqrt{\frac{1}{63}})(x+\sqrt{\frac{1}{63}})(7x^2+\frac{1}{9})}\).
d) Czy to wyrażenie nie jest podobne do
\(\displaystyle{ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2}\) ??
\(\displaystyle{ (x+3)^2+2\cdot (x+3) 1+1^2 = ((x+3)+1)^2=(x+4)^2}\)
W ramach ćwiczeń rozwiąż jeszcze takie przykłady (oczywiście chodzi o rozłożenie na czynniki wielomianu ):
-
\(\displaystyle{ 64x^{10}+x^7}\)
-
\(\displaystyle{ 4x^2-5}\)
-
\(\displaystyle{ x^4-2x^2+1}\)
-
\(\displaystyle{ (x^2-6)^3-8}\)
Rozwiązania możesz zamieścić w tym wątku, będę mógł sprawdzić, czy dobrze zrobiłeś
Jest jeszcze taka jedna sprawa, która może Ci się przydać.
Rozłożyć
\(\displaystyle{ a^4+4}\) na czynniki. Nie ma wzoru na sumę czwartych potęg ( bo
\(\displaystyle{ m}\) jest parzyste (zobacz na górę postu)), więc nie można tego zrobić tak prosto. Jest jednak sprytny sposób mianowicie:
\(\displaystyle{ x^4+4=(x^2)^2+2^2=(x^2)^2+2^2+4x^2-4x^2=((x^2)^2+2\cdot 2\cdot x^2 +2^2)-4x^2=(x^2+2)^2-(2x)^2=(x^2+2+2x)(x^2+2-2x)}\)
Trick polega na tym, że do wielomianu dodajemy 0 ( bo 0 nic nie zmienia ). Jednak to zero jest w postaci
\(\displaystyle{ 0=4x^2-4x^2}\). Sprytne, co nie? W ramach ćwiczeń rozłóż jeszcze taki wielomian
\(\displaystyle{ x^8+256}\).
[ Dodano: 7 Sierpnia 2008, 18:20 ]
2. Grupowanie wyrazów
Przy tej metodzie najważniejsze jest patrzenie na współczynniki wielomianów.
zad.
Rozłóż wielomiany na czynniki.
a)
\(\displaystyle{ x^3+4x^2+x+4}\)
Zauważ, że współczynniki przy dwóch pierwszych wyrazach są takie same, jak przy dwóch następnych. Możemy zatem zrobić tak:
\(\displaystyle{ x^3+4x^2+x+4=x^2(x+4)+(x+4)=(x+4)(x^2+1)}\)
b)
\(\displaystyle{ 6x^3-5x^2+6-5}\)
Tutaj podobnie współczynniki przy dwóch pierwszych są takie same jak przy dwóch następnych. Znów zapiszmy to tak:
\(\displaystyle{ 6x^3-5x^2+6x-5=x^2(6x-5)+(6x-5)=(x^2+1)(6x-5)}\).
c)
\(\displaystyle{ 10x^3+25x^2-8x-20}\)
Tutaj współczynniki przy pierwszym wyrazie i przy trzecim są proporcjonalne do tych przy drugim i ostatnim wyrazie. Zapiszmy zatem tak:
\(\displaystyle{ 10x^3+25x^2-8x-20=10x^3-8x+25x^2-20=2x(5x^2-4)+5(5x^2-4)=(5x^2-4)(2x+5)=5(x^2-\frac{4}{5})(2x+5)=5(x^2-(\sqrt{\frac{4}{5}})^2)(2x+5)=5(x+\sqrt{\frac{4}{5}})(x-\sqrt{\frac{4}{5}})(2x+5)}\).
d)
\(\displaystyle{ 2x^3-3x^2-6x+9}\)
Podobnie jak w poprzednim przykładzie współczynniki przy pierwszym i trzecim wyrazie są proporcjonalne do tych przy drugim i ostatnim wyrazie. Jest zatem
\(\displaystyle{ 2x^3-3x^2-6x+9=2x^3-6x-3x^2+9=2x(x^2-3)-3(x^2-3)=(2x-3)(x^2-3)=(2x-3)(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})}\)
To spróbuj rozwiązać sam:
a)
\(\displaystyle{ 3x^4-7x^3+3x^2-7x}\) b)
\(\displaystyle{ x^6+3x^5+2x^4+6x^3}\) c)
\(\displaystyle{ x^3-\frac{1}{2} x^2 +x - \frac{1}{2}}\) d)
\(\displaystyle{ 15x^6-10x^5+45x^4-30x^3}\)
[ Dodano: 9 Sierpnia 2008, 17:10 ]
Twierdzenie Bezouta
Liczba
\(\displaystyle{ a}\) jest pierwiastkiem wielomianu
\(\displaystyle{ W(x)}\) wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian
\(\displaystyle{ W(x)}\) jest podzielny przez dwumian
\(\displaystyle{ x-a}\).
Twierdzenie
Reszta z dzielenia wielomianu
\(\displaystyle{ W(x)}\) przez dwumian
\(\displaystyle{ x-a}\) jest równa
\(\displaystyle{ W(a)}\).
Twierdzenie
Jeżeli wielomian
\(\displaystyle{ W(x)=a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + a_{n-2} x^{n-2} +\ldots + a_2 x^2+a_1 x +a_0}\),
\(\displaystyle{ a_n 0}\) i
\(\displaystyle{ a_0 0}\), o współczynnikach całkowitych ma pierwiastek wymierny, który można zapisać w postaci ułamka nieskracalnego, to licznik tego ułamka jest dzielnikiem wyrazu wolnego
\(\displaystyle{ a_0}\), natomiast mianownik - dzielnikiem współczynnika
\(\displaystyle{ a_n}\) przy najwyższej potędze zmiennej.
Przykład
Dany jest wielomian
\(\displaystyle{ W(x)=x^4+x^3-7x^2-x+6}\). Ustal, przez który z podanych dwumianów dzieli się wielomian
\(\displaystyle{ W(x)}\).
\(\displaystyle{ x-1 \qquad x+1 \qquad x-2 \qquad x+2}\)
Rozwiązanie
Korzystając z tw. Bezout mamy:
\(\displaystyle{ W(1)=1+1-7-1+6=0}\)
\(\displaystyle{ W(-1)=1-1-7+1+6=0}\)
\(\displaystyle{ W(2)=16+8-28-2+6=0}\)
\(\displaystyle{ W(-2)=16-8-28+2+6=4 0}\),
Wielomian
\(\displaystyle{ W(x)}\) dzieli się przez dwumiany
\(\displaystyle{ x-1}\),
\(\displaystyle{ x-2}\) i
\(\displaystyle{ x+1}\).
