Wielomian W(x)

[kateeee]

Wielomian W(x)= ax^3+bx^2-9x-10 jest podzielny przez dwumian x-2 i przez dwumian x+1.
a) znajdź współrzędne a i b.
b) oblicz odwrotność sumy kwadratów pierwiastków wielomianu W(x).

[Hallena]

a)
\(\displaystyle{ 0=-a+b+9-10}\)
\(\displaystyle{ 0=8a+4b-9{\cdot}2-10}\)
rozwiązujesz układ równań.

[lukasz1804]

a) Dokładniej, z twierdzenia Bezouta mamy \(\displaystyle{ W(-1)=W(2)=0}\), więc

\(\displaystyle{ \begin{cases} -a+b+9-10=0 \\ 8a+4b-18-10=0 \end{cases}}\).

Stąd wynika, że \(\displaystyle{ b=a+1}\) i w konsekwencji \(\displaystyle{ 8a+4(a+1)-28=0}\), czyli \(\displaystyle{ 12a-24=0}\), tzn. \(\displaystyle{ a=2}\) i, co za tym idzie, \(\displaystyle{ b=2+1=3}\).

b) Nietrudno zauważyć, że \(\displaystyle{ W(x)=(2x+5)(x+1)(x-2)}\). Stąd i z twierdzenia Bezouta wynika, że liczby \(\displaystyle{ -\frac{5}{2},-1,2}\) są pierwiastkami wielomianu W.
Zatem

\(\displaystyle{ \frac{1}{(-\frac{5}{2})^2+(-1)^2+2^2}=\frac{1}{\frac{45}{4}}=\frac{4}{45}}\).