Liczby W(0) i W(1) są liczbami nieparzystymi, wykaż...

[Brzezin]

Współczynniki wielomianu \(\displaystyle{ W(x)=ax^3+bx^2+cx+d}\) są liczbami całkowitymi. Liczby \(\displaystyle{ W(0)}\)i\(\displaystyle{ W(1)}\)są liczbami nieparzystymi. Wykaż, że wielomian \(\displaystyle{ W(x)}\) nie ma pierwiastków całkowitych.

Pozdrawiam Maks

[Qń]

Korzystając z własności \(\displaystyle{ (a-b)|(W(a)-W(b))}\) dostajemy:
\(\displaystyle{ W(2n+1) \equiv W(1) \equiv 1 \ mod \ 2 \\
W(2n) \equiv W(0) \equiv 1 \ mod \ 2}\)
co oznacza, że dla dowolnej liczby całkowitej wartość wielomianu jest liczbą nieparzystą, nigdy więc nie może być zerem.

Q.

[frej]

\(\displaystyle{ W(1)=a+b+c+d}\)
\(\displaystyle{ W(0)=d}\)
Skoro te liczby są nieparzyste, to \(\displaystyle{ 2|a+b+c \quad a+b+c=2l \quad l\in \mathbb{Z}}\)

1) \(\displaystyle{ x=2k+1 \quad k\in \mathbb{Z}}\)
\(\displaystyle{ a(2k+1)^3+b(2k+1)^2+ c(2k+1)+d=2(4k^3a+6k^2a+6ka+2k^2b + 4kb+ kc) +a+b+c+d=2(4k^3a+6k^2a+6ka+2k^2b + 4kb+ kc+l)+d}\) jest więc to liczba nieparzysta
2) \(\displaystyle{ x=2k \quad k\in \mathbb{Z}}\)
\(\displaystyle{ 8k^3a+4k^2b+2kc+d}\) jest liczbą nieparzystą

Zatem dla każdej liczby całkowitej \(\displaystyle{ W(x)}\) jest liczbą nieparzystą, a skoro \(\displaystyle{ 0}\) jest liczbą parzystą...

[MagdaW]

Nie jestem pewna, ale może to będzie przynajmniej jakaś wskazówka:
Dowód nie wprost:
\(\displaystyle{ W(0)=d=2k+1

W(1)=a+b+c+d=2l+1 a+b+c=2n

Zal.

x Z

W(x)=ax ^{3}+bx ^{2}+cx+d=0 ax ^{3}+bx ^{2}+cx=-2k-1}\)

Jeżeli suma trzech liczb całkowitych (a, b, c) jest parzysta to są wśród nich 3 liczby parzyste lub dwie nieparzyste i jedna parzysta. W pierwszym przypadku nietrudno dowieść, że \(\displaystyle{ ax ^{3}+bx ^{2}+cx}\) ma wartość parzystą, co jest sprzeczne z założeniem. W drugim przypadku cząstkowe iloczyny mogłyby być: (dla x parzystego) wszystkie parzyste- ich suma również lub (dla x nieparzystego) 2 nieparzyste i 1 parzysta- ich suma też byłaby parzysta, co przeczy z zał. , że \(\displaystyle{ x Z}\)

ps. Wiem, że ten sposób jest nieelegancki.

[ Dodano: 21 Lipca 2008, 22:31 ]
I znów zostałam wyprzedzona i to przez dwie osoby!

Proszę kogoś doświadczonego o sprawdzenie.