Podzielność, reszta z dzielenia etc.

[leszek1820]

1. reszta z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ 2x ^{3} +x ^{2}-7+7}\) przez dwumian x-a wynosi 7, oblicz wartosc a.
2. reszty z dzielenia wielomianów \(\displaystyle{ 2x ^{3} +5x ^{2}-5x-7\text{ i }2x ^{3}+4x ^{2}-2x+3}\) przez dwumian x-a są takie same, znajdź liczbę a.
3. Liczby 3 i -2 są pierwiastkami wielomianu \(\displaystyle{ x ^{5}-15x ^{3} -10x ^{2}+60x+72}\). Określ krotności tych pierwiastków.
4. liczby 2 i -3 sa pierwiastkami wielomianu \(\displaystyle{ ax _{3}+bx ^{2} -11x+30}\)
5. liczba 1 jest dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ x ^3+mx ^{2} -7x+n}\), znajdz trzeci pierwiastek tego wielomianu
6. reszta z dzielenia wielomianu W (X) przez x+2 wynosi 7, a reszta z dzielenia tego wielomianu przez x-1 wynosi 1 . znajdz reszte z dzielenia wielomianu W (x) przez wielomian (X+2)(x-1)

[wb]

1) - sprawdź czy dobrze przepisałeś postać wielomianu,

2)
\(\displaystyle{ 2a^3+5a^2-5a-7=2a^3+4a^2-2a+3 \\ ... \\a=-2 a=5}\)

[ Dodano: 21 Lipca 2008, 14:50 ]
3)
Dziel dany wielomian przez x-3 tyle razy ile razy otrzymasz dzielenie bez reszty.
Ilość dzieleń bez reszty jest równa krotności 3.

Ostatni wielomian, który nie podzielił się już bez reszty przez x-3, dziel przez x+2 i analogicznie jak poprzednio wyznacz krotność -2.

4) - brak polecenia, ale pewno chodzi o wyznaczenie a oraz b:
Rozwiąż w tym celu układ:
\(\displaystyle{ \begin{cases} a 2^3+b 2^2-11 2+30=0 \\ a (-3)^3+b (-3)^2-11 (-3)+30=0 \end{cases}}\)

5)
\(\displaystyle{ x^3+mx^2-7x+n=(x-1)^2(x-a) \\ x^3+mx^2-7x+n=(x^2-2x+1)(x-a) \\ x^3+mx^2-7x+n=x^3-(a+2)x^2+(2a+1)x-a \\ \\ \begin{cases} -(a+2)=m \\ 2a+1=-7 \\ -a=n \end{cases}}\)
i wystarczy rozwiązać powyższy układ.

6)
\(\displaystyle{ W(-2)=7 W(1)=1 \\ \\ W(x)=(x+2)(x-1)Q(x)+ax+b W(1)=a+b W(-2)=-2a+b \\ \\ \begin{cases} a+b=1 \\ -2a+b=7 \end{cases}}\)
i znowu wystarczy rozwiązać powyższy układ.