Pierw. potrójny dla parametrów a i b, ogólnie 3 zadania

[Brzezin]

1. Dla jakich wartości a i b wielomian\(\displaystyle{ x^4+x^3-18x^2+ax+b}\) na pierwiastek potrójny?
2. Wyznacz współczynniki p i q, tak aby wielomian \(\displaystyle{ x^4-10x^3+37x^2+px+q}\) miał dwa pierwiastki, z których każdy jest podwójny.
3. Wykaż, że jeżeli równanie \(\displaystyle{ x^3+ax+b=0}\) ma pierwiastek podwójny, to \(\displaystyle{ 4a^3+27b^2=0}\).

Myślałem, myślałem i nic nie wskórałem
Pozdrawiam i z góry dziękuję za pomoc

[RyHoO16]

ZAD.3.:
Jeżeli znasz pochodne to należałoby rozwiązać ten układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} W(x)=0 \\ W'(x)=0 \end{cases} \iff \begin{cases} x^3+ax+b=0 \\ 3x^2+a=0 \end{cases} \iff \begin{cases} a=-3x^2 \\ b=2x^3 \end{cases}}\)

Teraz przekształcamy nasze wyrażenie, czyli\(\displaystyle{ 4a^3+27b^2=0 \iff 4 (-3x^2)^3+27 (2x^3)^2=-4\cdot 27x^6+27 4x^6=0}\) C.N.D

[JHN]

1. Musi zajść
\(\displaystyle{ x^4+x^3-18x^2+ax+b\equiv 1\cdot (x-p)^3(x-q)\wedge p\ne q}\)
pozostaje wymnożyć i uporządkować prawą stronę, napisać układ wynikający z równości współczynników przy odpowiednich potęgach i go rozwiązać.
2. Analogicznie:
\(\displaystyle{ x^4-10x^3+37x^2+px+q\equiv 1\cdot (x-m)^2(x-n)^2\wedge m\ne n}\)
Pozdrawiam
PS. Dla ułatwienia sobie (i Tobie) zauważyłem, że współczynniki kierujące są jedynkami!
PPS. Trzecie też można tym sposobem, ale byłoby dłużej niż RyHoO16 proponuje

[edit] poprawka - pierwiastki nazwałem tak jak nazywały sie parametry

[Brzezin]

Jeżeli znasz pochodne to należałoby rozwiązać ten układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} W(x)=0 \\ W'(x)=0 \end{cases} \iff \begin{cases} x^3+ax+b=0 \\ 3x^2+a=0 \end{cases} \iff \begin{cases} a=-3x^2 \\ b=2x^3 \end{cases}}\)

Skąd bierze się druga linijka układu?

[Mithrandir]

Skąd bierze się druga linijka układu?

Po zróżniczkowaniu (czyli znalezieniu pochodnej) wielomianu W(x).
Pochodną takich wielomianów znajdujemy przy użyciu wzoru \(\displaystyle{ [x^{n}]'=nx^{n-1}}\)
i stąd \(\displaystyle{ [x^{3}]'=3x^{2}}\)
\(\displaystyle{ [ax]'=a}\)
\(\displaystyle{ '=0}\)

\(\displaystyle{ W'(x)=[x^{3}+ax+b]'=3x^{2}+a}\)

[frej]

to jest właśnie pochodna tego wielomianu. Jeśli nie umiesz różniczkować, to wykorzystaj rady podane przez JHN.