Przedstaw w postaci iloczynowej wielomian

[Brzezin]

Przedstaw w postaci iloczynowej wielomian:
\(\displaystyle{ W(x)=(x^2+x)^2+4(x^2+x)^2-12}\)
Jak to w ogóle przekształcić?

[soku11]

\(\displaystyle{ W(x)=5(x^2+x)^2-12=[\sqrt{5}(x^2+x)]^2-(2\sqrt{3})^2=
[\sqrt{5}(x^2+x)-2\sqrt{3}][\sqrt{5}(x^2+x)+2\sqrt{3}]=
[\sqrt{5}x^2+\sqrt{5}x-2\sqrt{3}][\sqrt{5}x^2+\sqrt{5}x+2\sqrt{3}]}\)

POZDRO

[Brzezin]

Nie zupełnie o to mi chodziło. Jak dość do czegoś takiego jak \(\displaystyle{ (x^2+x+6)(x^2+x-2)}\)

[Wasilewski]

No to źle przepisałeś przykład, powinno być:
\(\displaystyle{ W(x) = (x^2 + x)^2 + 4(x^2 + x) - 12 \\
t = x^2 +x \\
W(t) = t^2 + 4t - 12 = t^2 +6t - 2t - 12 = t(t+6) - 2(t+6) = (t+6)(t-2) = (x^2 +x + 6)(x^2 +x-2) = (x^2 + x + 6)(x+2)(x-1)}\)

[Brzezin]

A co gdy mamy wyłączone x przed nawiasem, np.:
\(\displaystyle{ (x^2+x+4)^2+8x(x^2+x+4)+15x^2}\)

[frej]

Ja proponuję wszystko wymnożyć i potem zredukować wyrazy podobne. Po redukcji wygląda to tak:
\(\displaystyle{ x^4+10x^3+32x^2+40x+16=x^4+2x^3+8x^3+16x^2+16x^2+32x+8x+16= (x+2)(x^3+8x^2+16x+8)=(x+2)(x^3+2x^2+6x^2+12x+4x+8)=(x+2)^2(x^2+6x+4)=(x+2)^2(x+3+2\sqrt{5})(x+3-2\sqrt{5})}\)

[Brzezin]

Z czego skorzystałeś w tym miejscu? Z twierdzeniem Bézout?
\(\displaystyle{ (x+2)(x^3+2x^2+6x^2+12x+4x+8)=(x+2)^2(x^2+6x+4)}\)

[frej]

\(\displaystyle{ (x+2)(x^3+2x^2+6x^2+12x+4x+8)=(x+2)(x^2(x+2)+6x(x+2)+4(x+2))=(x+2)((x+2)(x^2+6x+4))=(x+2)^2(x^2+6x+4)}\)

[ Dodano: 20 Lipca 2008, 16:18 ]
Poza tym zawsze stosuję twierdzenie o pierwiastkach wymiernych, twierdzenie Bezouta i schemat Hornera

[Wasilewski]

Można też podstawić t pod ten nawias i mamy wtedy:
\(\displaystyle{ t^2 + 8tx + 15x^2 = (5x + t)(3x + t)}\)
I mamy iloczyn dwóch trójmianów kwadratowych, których pierwiastki łatwo wyznaczyć.