udowodnij

[nina90]

udowodnij że dla wszystkich \(\displaystyle{ a R_{+}\{1}}\)} oraz wszystkich \(\displaystyle{ x R}\) spełniona jest nierówność :

\(\displaystyle{ a^{x}+ a ^{-x} qslant 2}\)

[kuch2r]

niech:
\(\displaystyle{ t=a^{x}}\), gdzie \(\displaystyle{ t>0}\)
Rozwazmy:
\(\displaystyle{ t+\frac{1}{t}\geq 2\\t^2+1\geq 2t\\(t-1)^{2}\geq 0}\)

[lukasz1804]

\(\displaystyle{ a^x+a^{-x}=a^x+\frac{1}{a^x}=\frac{a^{2x}+1}{a^x}=\frac{a^{2x}-2a^x+1+2a^x}{a^x}=\frac{(a^x-1)^2+2a^x}{a^x}=\frac{(a^x-1)^2}{a^x}+2\geq 0+2=2}\)

[frej]

z nierówności między średnimi arytmetyczna a geometryczną:
\(\displaystyle{ a^x+a^{-x} qslant 2\sqrt{a^x a^{-x}}=2}\)