Wyznaczyc wszystkie wielomiany W(x) spełniających dla każdego\(\displaystyle{ x R}\) warunek:
\(\displaystyle{ (x-1)W(x+1)-(x+3)W(x-1)=0}\)
Wielomian
-
- Użytkownik
- Posty: 879
- Rejestracja: 1 wrz 2007, o 13:33
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 221 razy
Wielomian
Zauważmy najpierw, że \(\displaystyle{ W(0)=0}\) i \(\displaystyle{ W(-2)=0}\). Zatem nasz wielomian jest postaci \(\displaystyle{ W(x)=Q(x) x (x+2)}\). Podstawiając to do wyjściowego równania otrzymujemy:
\(\displaystyle{ (x-1) W(x+1)-(x+3) W(x-1)=0}\)
\(\displaystyle{ (x-1) Q(x+1) (x+1) (x+3) - (x+3) Q(x-1) (x-1) (x+1) =0}\)
\(\displaystyle{ (x-1) (x+1) (x+3) (Q(x+1)-Q(x-1))=0}\)
Stąd z kolei otrzymujemy, iż \(\displaystyle{ Q(x+1)-Q(x-1)=0}\), czyli iż wielomian \(\displaystyle{ Q(x)}\) jest stały. Stąd otrzymujemy \(\displaystyle{ W(x)=a x (x+2)}\). Bezpośrednie podstawienie potwierdza poprawność naszego rozwiązania.
\(\displaystyle{ (x-1) W(x+1)-(x+3) W(x-1)=0}\)
\(\displaystyle{ (x-1) Q(x+1) (x+1) (x+3) - (x+3) Q(x-1) (x-1) (x+1) =0}\)
\(\displaystyle{ (x-1) (x+1) (x+3) (Q(x+1)-Q(x-1))=0}\)
Stąd z kolei otrzymujemy, iż \(\displaystyle{ Q(x+1)-Q(x-1)=0}\), czyli iż wielomian \(\displaystyle{ Q(x)}\) jest stały. Stąd otrzymujemy \(\displaystyle{ W(x)=a x (x+2)}\). Bezpośrednie podstawienie potwierdza poprawność naszego rozwiązania.
-
- Użytkownik
- Posty: 659
- Rejestracja: 24 kwie 2008, o 20:15
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Strzyżów
- Podziękował: 136 razy
- Pomógł: 54 razy
Wielomian
Napisz, czy moje rozumowanie jest poprawne:
Jeżeli \(\displaystyle{ x=1}\), to:
\(\displaystyle{ 2W(0)-4W(0)=0}\), stąd \(\displaystyle{ W(0)=0}\)
Jeżeli \(\displaystyle{ x=-3}\), to:
\(\displaystyle{ W(-4)*W(-2) - W(0)*W(-4)}\)
\(\displaystyle{ W(-4)*W(-2) = W(0)*W(-4)}\)
\(\displaystyle{ W(-2)=W(0)=0}\)
Jeżeli \(\displaystyle{ x=1}\), to:
\(\displaystyle{ 2W(0)-4W(0)=0}\), stąd \(\displaystyle{ W(0)=0}\)
Jeżeli \(\displaystyle{ x=-3}\), to:
\(\displaystyle{ W(-4)*W(-2) - W(0)*W(-4)}\)
\(\displaystyle{ W(-4)*W(-2) = W(0)*W(-4)}\)
\(\displaystyle{ W(-2)=W(0)=0}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 879
- Rejestracja: 1 wrz 2007, o 13:33
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 221 razy
Wielomian
Raczej nie. Powinno być tak:
1)x=1
\(\displaystyle{ (x-1) W(x+1)-(x+3) W(x-1)=0}\)
\(\displaystyle{ (1-1) W(1+1)-(1+3) W(1-1)=0}\)
\(\displaystyle{ 0 W(2)-(4) W(0)=0}\)
\(\displaystyle{ -(4) W(0)=0}\)
\(\displaystyle{ W(0)=0}\)
2)x=-3
\(\displaystyle{ (x-1) W(x+1)-(x+3) W(x-1)=0}\)
\(\displaystyle{ (-3-1) W(-3+1)-(-3+3) W(-3-1)=0}\)
\(\displaystyle{ -4 W(-2)-0 W(-4)=0}\)
\(\displaystyle{ -4 W(-2)=0}\)
\(\displaystyle{ W(-2)=0}\)
1)x=1
\(\displaystyle{ (x-1) W(x+1)-(x+3) W(x-1)=0}\)
\(\displaystyle{ (1-1) W(1+1)-(1+3) W(1-1)=0}\)
\(\displaystyle{ 0 W(2)-(4) W(0)=0}\)
\(\displaystyle{ -(4) W(0)=0}\)
\(\displaystyle{ W(0)=0}\)
2)x=-3
\(\displaystyle{ (x-1) W(x+1)-(x+3) W(x-1)=0}\)
\(\displaystyle{ (-3-1) W(-3+1)-(-3+3) W(-3-1)=0}\)
\(\displaystyle{ -4 W(-2)-0 W(-4)=0}\)
\(\displaystyle{ -4 W(-2)=0}\)
\(\displaystyle{ W(-2)=0}\)