Wielomian

[szymek12]

Wyznaczyc wszystkie wielomiany W(x) spełniających dla każdego\(\displaystyle{ x R}\) warunek:
\(\displaystyle{ (x-1)W(x+1)-(x+3)W(x-1)=0}\)

[Brzytwa]

Zauważmy najpierw, że \(\displaystyle{ W(0)=0}\) i \(\displaystyle{ W(-2)=0}\). Zatem nasz wielomian jest postaci \(\displaystyle{ W(x)=Q(x) x (x+2)}\). Podstawiając to do wyjściowego równania otrzymujemy:

\(\displaystyle{ (x-1) W(x+1)-(x+3) W(x-1)=0}\)
\(\displaystyle{ (x-1) Q(x+1) (x+1) (x+3) - (x+3) Q(x-1) (x-1) (x+1) =0}\)
\(\displaystyle{ (x-1) (x+1) (x+3) (Q(x+1)-Q(x-1))=0}\)

Stąd z kolei otrzymujemy, iż \(\displaystyle{ Q(x+1)-Q(x-1)=0}\), czyli iż wielomian \(\displaystyle{ Q(x)}\) jest stały. Stąd otrzymujemy \(\displaystyle{ W(x)=a x (x+2)}\). Bezpośrednie podstawienie potwierdza poprawność naszego rozwiązania.

[szymek12]

Nie rozumiem tylko dlaczego \(\displaystyle{ W(0)=0 W(-2)=0}\). Proszę o wytłumaczenie.

[Brzytwa]

Kładziesz pod x 1 oraz -3. W obu przypadkach jeden ze składników ci się usuwa, a stąd już otrzymujesz te 2 miejsca zerowe W(x).

[szymek12]

Napisz, czy moje rozumowanie jest poprawne:
Jeżeli \(\displaystyle{ x=1}\), to:
\(\displaystyle{ 2W(0)-4W(0)=0}\), stąd \(\displaystyle{ W(0)=0}\)
Jeżeli \(\displaystyle{ x=-3}\), to:
\(\displaystyle{ W(-4)*W(-2) - W(0)*W(-4)}\)
\(\displaystyle{ W(-4)*W(-2) = W(0)*W(-4)}\)
\(\displaystyle{ W(-2)=W(0)=0}\)

[Brzytwa]

Raczej nie. Powinno być tak:

1)x=1

\(\displaystyle{ (x-1) W(x+1)-(x+3) W(x-1)=0}\)
\(\displaystyle{ (1-1) W(1+1)-(1+3) W(1-1)=0}\)
\(\displaystyle{ 0 W(2)-(4) W(0)=0}\)
\(\displaystyle{ -(4) W(0)=0}\)
\(\displaystyle{ W(0)=0}\)

2)x=-3

\(\displaystyle{ (x-1) W(x+1)-(x+3) W(x-1)=0}\)
\(\displaystyle{ (-3-1) W(-3+1)-(-3+3) W(-3-1)=0}\)
\(\displaystyle{ -4 W(-2)-0 W(-4)=0}\)
\(\displaystyle{ -4 W(-2)=0}\)
\(\displaystyle{ W(-2)=0}\)