Rozwiąż równanie 4-tego stopnia

[ja.rafal]

Rozwiąż równanie:

\(\displaystyle{ x^4-5x^3+6x^2-5x+1=0}\)

Dziękuje.

[Skrzypu]

Doprowadziłem to czegoś takiego:

\(\displaystyle{ x^2\cdot (x-2)^2+(2x-1)^2-x\cdot (x-1)^2=0}\)

Ale jak dalej to nie wiem. Można też zrobić ewentualnie rozwiązując wielomian 4-tego stopnia w liczbach rzeczywistych, ale to zbyt czasochłonne i zapewne jest jakiś inny łatwiejszy sposób.

[g]

Ten wielomian nie ma pierwiastków wymiernych, bo skrajne współczynniki to 1 i 1.

[Skrzypu]

A jeśli istnieją jakieś rozwiązania to tylko dodatnie.

[Yavien]

W(x) = x^4 - 5x^3 + 6x^2 - 5x + 1
W(0) = 1
W(1) = -2
W(3) = -14
W(4) = 13
są (co najmniej) dwa rzeczywiste rozwiązania tego rownania: jedno pomiędzy 0 a 1, drugie pomiedzy 3 a 4.

[metamatyk]

Wielomian 4-stopnia można zapisać jako iloczyn dwóch wielomianów 2-stopnia. W przypadku naszego równania mamy
(x^2-ax+b)((x^2-cx+d)=0.
Po wymnożeniu i uproszeniu wygląda następująco:
x^4-x^3(a+c)+x^2(d+ac+b)-x(cd+bc)+bd
Wyraz wolny wynosi 1. I jako że równanie ma współczynniki całkowite, to liczby całkowite będą spełniać równanie bd=1. Więc b=1 i d=1 lub b=-1 i d=-1. Powstaje następujący układ równań:
a+c=5
d+ac+b=6
cd+bc=5
bd=1
Po wstawieniu b=1 i d=1 mamy:
a+c=5
ac=4
Z tego wynika ze a=4,c=1 lub c=4,a=1
podstawiajac współczynniki do naszego równania powstaje następujący iloczyn
(x^2-4x+1)(x^2-x+1)=0
z tego wychodzą następujące pierwiastki:
x=2-sqrt3 lub x=2+sqrt3