krotność

lukasz139 · Post autor: **lukasz139** » 25 cze 2008, o 01:58

Witam. Mam np. taki wielomian:

\(\displaystyle{ x^{4}}\) \(\displaystyle{ -}\) \(\displaystyle{ 4x^{3}}\) \(\displaystyle{ +}\) \(\displaystyle{ 3x^{2}}\) \(\displaystyle{ +}\)\(\displaystyle{ 4x}\) \(\displaystyle{ -}\) \(\displaystyle{ 4}\)

Jego pierwiastki to -1, 1, 2. Jest jakiś szybki sposób na wyznaczenie krotności tych pierwiastków?

klaustrofob · Post autor: **klaustrofob** » 25 cze 2008, o 06:21

w tym konkretnym przykładzie jest. pierwiastki są trzy, więc jeden i tylko jeden z nich może mieć co najwyżej krotność 2. oblicz pochodną wielomianu i sprawdź, który z nich jest pierwiastkiem pochodnej. ten będzie wybrańcem.

robert9000 · Post autor: **robert9000** » 25 cze 2008, o 20:22

mając podane pierwiastki możesz podzielić ten wielomian przez nie schematem hornera i na końcu z niego otrzymasz czwarty pierwiastki i będziesz wiedział, który jest dwukrotny

natkoza · Post autor: **natkoza** » 25 cze 2008, o 20:51

w tym przypadku możesz też odpowiednio pogrupować wyrazy i wtedy wszystko będzie ładnie widać
\(\displaystyle{ x^4-4x^3+3x^2+4x-4=x^2(x^2-4x+3)+4(x-1)=x^2(x-1)(x-3)+4(x-1)=(x^2(x-3)+4)(x-1)=(x^3-3x^2+4)(x-1)=(x+1)(x-2)^2(x-1)}\)

lukasz139 · Post autor: **lukasz139** » 27 cze 2008, o 23:06

ok, dzieki wszystkim