Nierówność dwukwadratowa z parametrem

[martin1990]

Dla jakich wartości parametru m nierówność \(\displaystyle{ x^4+mx^2+1>0}\) jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej x?
Prosiłbym o szczegółowe wyjaśnienie rozwiązania. Z góry thx.

[robert9000]

niech
\(\displaystyle{ x^{2}=t \\
\\
t^{2}+mt+1>0}\)

żeby było spełnione dla każdego x, to w tym równaniu są 2 możliwości:

\(\displaystyle{ \begin{cases} \Delta qslant 0 \\ t_{1} \Delta}\)

[martin1990]

do odpowiedzi bierzesz część wspólną tego co wyjdzie

Na pewno część wspólną? To dlaczego między tymi przypadkami postawiłas znak "lub"?
Wg mnie powinna być alternatywa ; suma tych przedziałów.

[robert9000]

oczywiście że sumę myślę o sumie, a pisze część wspólną:P już poprawiam

[ Dodano: 29 Maj 2008, 21:11 ]
w ogóle to podziwiam, że w wieku 11 lat takie zadania robisz

[martin1990]

Ok, wszytsko wyszło tak jak miało, dzieki za pomoc.

[schmude]

Myślę, że łatwiej skorzystać z nierówności między śr. arytm. i geom. Mamy więc:

\(\displaystyle{ (x^4+1)+mx^2 \geqslant (2+m)x^2 \Rightarrow m>-2}\)

[martin1990]

Myślę, że łatwiej skorzystać z nierówności między śr. arytm. i geom. Mamy więc:

\(\displaystyle{ (x^4+1)+mx^2 \geqslant (2+m)x^2 \Rightarrow m>-2}\)

Mógłbyś mi to dokładniej wyjaśnić?
Wiem, żę nierówność Cauchy'ego ma postać: \(\displaystyle{ \frac{a_1+...+a_n}{n} \geqslant \sqrt[n]{a_1 \cdot ... \cdot a_n}}\); stosuje sie to dla liczb dodatnich (tzn. jest uogólnienei dla ujemnych też ponoć)

W przypadku Twojego segregowania ja to widzę: \(\displaystyle{ (x^4+1)+mx^2 \geqslant \sqrt{(x^4+1)mx^2}}\), prawdziwetylko dla m nieujemnych....
Z góry dzieki za objaśnienie

[ Dodano: 1 Czerwca 2008, 14:34 ]
Chyba, że o to chodzi: \(\displaystyle{ x^4+1+mx^2=(x^2-1)^2+2x^2+mx^2=(x^2-1)^2+x^2(2+m) \geqslant x^2(2+m)}\) to oczywiste, bo kwadart jest nieujemny, ale gdzie tu nier miedzy średnimi?

[schmude]

\(\displaystyle{ x^4+1 qslant 2 \sqrt{x^4 1} =2 ft|x^2 \right|=2 x^2}\)

[martin1990]

Racja, nie pomyślałem w ten sposób. Dzieki za ciekawy sposób.

[schmude]

Spoko, to jest dobry trik, żeby zastasować nierówność do części wyrażenia a nie do całości. Podobnie można rozwiązać zadanie z tegorocznego finału konkursu z PW:

Rozwiązać nierówność

\(\displaystyle{ x^6-6x+5>0}\)

[enigm32]

Nom, to prawda. Kolega za rozwiązanie tego zadania właśnie tym sposobem otrzymał I miejsce, mimo, że kilka osób miało max pkt.

\(\displaystyle{ x^6+5-6x qslant 6|x|-6x=6(|x|-x) qslant 0}\)
Przy czym równość zachodzi wtedy, gdy \(\displaystyle{ x^6=1 |x|=x\\}\)
\(\displaystyle{ x 1}\)

[Mariusz M]

\(\displaystyle{ x^6-6x+5>0}\)

Powyższą nierówność można przedstawić w postaci iloczynowej
Z obserwacji można wywnioskować że 1 jest pierwiastkiem co najmniej dwukrotnym
Korzystając z twierdzenia Bezout można obniżyć stopień równania do 4
Równanie 4 stopnia można rozwiązać używając metody Lodovico Ferrariego
lub zastosować metodę Niccolo Fontany do równań stopnia czwartego

[martin1990]

Wystarczy policzyć pochodną: \(\displaystyle{ 6(x^5-1)}\) i wszystko jasne...