Wielomiany: 3 problemy

[eR.Gie]

1) Jedynym z rozwiazan rownania \(\displaystyle{ 3x^{3} + ax^{2} + bx +12=0}\), gdzie \(\displaystyle{ a,b\in C}\), jest liczba \(\displaystyle{ 1+\sqrt{3}}\). Znajdz a i b.

2) Dla jakich wartosci parametru m równanie \(\displaystyle{ x^{4} +(1-2m)x^{2} +2m^{2} + \frac{1}{4}=0}\) nie ma rozwiązań?

3) Liczba 2 jest pierwiastkiem równania \(\displaystyle{ x^{3} -(4p+2)x^{2} +(8p-5)x +10=0}\). Wyznacz wartość parametru p, wiedziac, ze dany pierwiastek jest srednia arytmetyczna pozostalych.

Z gory dzieki za wszelka pomoc.

[ariadna]

3) m,n- pierwiastki wielomianu
(x-2)(x-m)(x-n)=\(\displaystyle{ x^{3}}\)-(4p+2)\(\displaystyle{ x^{2}}\)+(8p-5)x+10

Po wymnożeniu lewej strony i porównaniu odpowiednich wspóczynników przy odpowienich potęgach dostajemy układ równań:
-2mn=10
m+n+2=4p+2
mn+2n+2m=8p-5
i m+n=4
Mi wyszło p=1. Znając życie, jest prostsza droga:)

[eR.Gie]

Faktycznie po tym przyrownaniu wspolczynnikow wszystko ladnie wychodzi. Dzieki.

[Tomasz Rużycki]

2) Wprowadź \(\displaystyle{ \varphi = x^2}\).

\(\displaystyle{ \Delta \{\varphi_1+\varphi_20\\ \Delta\geq 0}\)

1) Podziel pod kreskę.


Pozdrawiam,
--
Tomek Rużycki

[eR.Gie]

Zaraz sie sprawdzi. Powinno zadzialac w 2 bo ze \(\displaystyle{ \Delta ? Hehe

Dzieki za szybkie odpowiedzi.}\)

[Ula]

zad.1

Zrobiłam tym samym sposobem co ariadna, czyli

\(\displaystyle{ (x-1-\sqrt{3})(x-p)(x-q)=.....}\)

Powinno wyjść:

\(\displaystyle{ x^3+(-1-\sqrt{3}-m-n)x^2+(m+m\sqrt{3}+n+n\sqrt{3}+mn)x+ (-mn-mn\sqrt{3})=(wielomian\ podzielony\ przez\ 3)}\)

Wylicz \(\displaystyle{ mn}\) z wyrazu wolnego.

Wstaw do \(\displaystyle{ (m+m\sqrt{3}+n+n\sqrt{3}+mn)=\frac{b}{3}}\) i wylicz m+n.

Wstaw do \(\displaystyle{ (-1-\sqrt{3}-m-n)=\frac{a}{3}}\)

Pogrupuj, porównaj.

a=-12
b=6

[Fanfinette]

w trzecim p powinno wyjść 2