Zadanie z wielomianem

[Mateusz Kempa]

Witam,

Proszę o pomoc przy rozwiązaniu zadania:

Dla jakich argumentów wielomian \(\displaystyle{ W(x) = x^3 + bx^2 + cx +d}\) przyjmuje wartości dodatnie, jeżeli wiadomo, że kolejne jego współczynniki są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego i liczba 2 jest pierwiastkiem tego wielomianu ?

Z góry dziękuję i pozdrawiam.

[agiszonek]

hej! ja zrobilabym te zad nastepujaco:

W(x)=\(\displaystyle{ x^{3}}\)+\(\displaystyle{ bx^{2}}\)+cx+d

kolejne wspolczynniki: 1, b, c, d
poniewaz liczby te tworza ciag geom. mozemy ulozyc nastepujace zaleznosci:
1)\(\displaystyle{ b^{2}}\)=1*c
2)\(\displaystyle{ c^{2}}\)=b*d
[zaleznosci te wynikaja z faktu ze majac 3 kolejne wyrazy ciagu geom. drugi wyraz do kwadratu jest rowny iloczynowi wyrazu pierwszego i trzeciego]

czyli: c=\(\displaystyle{ b^{2}}\)
podstawiamy zaleznosc 1) do 2):
\(\displaystyle{ (b^{2})^{2}}\)=b*d
\(\displaystyle{ b^{4}=b*d}\) //b
\(\displaystyle{ b^{3}}\)=d

w tresci zadanie mamy podane takze ze liczba 2 jest pierwiastkiem wielomianu, a wiec W(2)=0

W(2)=8+4b+2c+d
d+2c+4b+8=0
do tego rownanie podstawiamy wyprowadzone wczesniej zaleznosci [c=\(\displaystyle{ b^{2}}\) i d=\(\displaystyle{ b^{3}}\)] i rozwiazujemy otrzymane w ten sposob rowanie:
\(\displaystyle{ b^{3}}\)+2\(\displaystyle{ b^{2}}\)+4b+8=0
\(\displaystyle{ b^{2}}\)(b+2)+4(b+2)=0
(\(\displaystyle{ b^{2}}\)+4)*(b+2)=0
\(\displaystyle{ b^{2}}\)+4=0 i b+2=0
\(\displaystyle{ b^{2}}\)=-4 i b=-2
poniewaz \(\displaystyle{ b^{2}}\)=-4 jest sprzeczne wiec rozw. jest: b=-2

c=\(\displaystyle{ b^{2}}\)
c=4

d=\(\displaystyle{ b^{3}}\)
d=-8

a wiec nasz wielomian ma postac: W(x)=\(\displaystyle{ x^{3}}\)-\(\displaystyle{ 2x^{2}}\)+4x-8
mamy znalezc dla jakich argumentów wielomian przyjmuje wartości dodatnie, czyli musimy rozwiazac nierownosc: W(x)>0
\(\displaystyle{ x^{3}}\)-\(\displaystyle{ 2x^{2}}\)+4x-8>0
\(\displaystyle{ x^{2}}\)(x-2)+4(x-2)>0
(\(\displaystyle{ x^{2}}\)+4)*(x-2)>0
\(\displaystyle{ x^{2}}\)+4=0 x-2=0
\(\displaystyle{ x^{2}}\)=-4 x=2
rysujemy os liczbowa i zaznaczamy na niej miejsce zerowe x=2 (bo \(\displaystyle{ x^{2}}\)=-4 jest sprzeczne) i odczytujemy rozw. nierownosci: x>2

czyli odp dla x>2 wielomian przyjmuje wartości dodatnie

mam nadzieje ze dosc czytelnie rozw to zad...
pozdrawiam

[Mateusz Kempa]

Serdecznie dziękuję za pomoc !

[agiszonek]

nie ma sprawy polecam sie na przyszlosc