Zadania z parametrami

[-=Prezes=-]

1. Dla jakich a i b wielomian \(\displaystyle{ W(x)=x ^{4} +ax ^{3} -3x ^{2} +bx-4}\) jest podzielny przez \(\displaystyle{ x ^{2} -4}\)

2.Dla jakich wartości parametrów a i b liczba 3 jest pierwiastkiem dwukrotnym wilomianu \(\displaystyle{ W(x)= x ^{4} - 5x ^{3} +ax ^{2} +bx +18}\)

3.Wyznacz te wartości parametru m, dla których wielomian \(\displaystyle{ W(x)=(x ^{2} -m)(x+5)}\) ma pierwiastek dwukrotny.

[RyHoO16]

\(\displaystyle{ \begin{cases} W(2)=0 \\ W(-2)=0 \end{cases}}\)
Układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi.

[Wicio]

1)
\(\displaystyle{ x ^{2} -4=(x-2)(x+2)}\)

Więc pierwiastki to -2 i 2 więc podstawiasz po kolei 2 i -2 do wielomianu i z układu równań obliczasz a i b

\(\displaystyle{ \begin{cases}(-2) ^{4} +a(-2) ^{3} -3(-2) ^{2} +b(-2)-4 =0 \\ 2 ^{4} +a 2 ^{3} -3 2 ^{2} +b 2-4 =0 \end{cases}}\)

[-=Prezes=-]

To nie jest wcale trudne, najgorzej wpaść na rozwiązanie Jakby jeszcze ktoś mnie naprowadził w 2 i 3

[RyHoO16]

2. Jeżeli znasz pochodne to możemy taki układ równań zastosować;
\(\displaystyle{ \begin{cases} W(x)=0 \\ W'(x)=0 \end{cases}}\)

[Wicio]

3)
\(\displaystyle{ W(x)=(x ^{2} -m)(x+5)}\)
\(\displaystyle{ W(x)=(x- \sqrt{m} )(x+ \sqrt{m} )(x+5)}\)

Wiemy , ze jednym z pierwiastków wielomianu jest x=-5

Więc pierwiastek będzie dwukrotny gdy jeden z nawiasików również będzie miał pierwiastek równy -5, więc:

\(\displaystyle{ -5- \sqrt{m} =0}\) \(\displaystyle{ \vee}\) \(\displaystyle{ -5+ \sqrt{m} =0}\)
\(\displaystyle{ m=\phi}\) \(\displaystyle{ \vee}\) \(\displaystyle{ m=25}\)

Pierwsze równanie sprzeczne , więc odpowiedzią jest m=25

[robert9000]

Wicio
\(\displaystyle{ x^{2}-m=(x- \sqrt{m} )(x+ \sqrt{m} )}\)

[Wicio]

Zamotałem się , już poprawione