Wielomian pierwiastek krotnosc

[mol_ksiazkowy]

Czy istnieją różne od zera liczby rzeczywiste a i b takie, że wszystkie pierwiastki wielomianu w są liczbami rzeczywistymi? (jesli tak to, czy moga byc one wymierne?) .Czy moze on miec podwójny pierwiastek..?! Odpowiedz uzasadnij
\(\displaystyle{ w(x) = x^5 + ax^3 + b}\)

[klaustrofob]

podwójny musiałby być pierwiastkiem pochodnej - tylko 0.

[Kalesanty]

"pierwiastek wielomianu jest wielokrotny, jeśli jest również pierwiastkiem pochodnej wielomianu."
\(\displaystyle{ w'(x) = 5x ^{4} + 3ax ^{2}}\)
\(\displaystyle{ w'(x) = x ^{2}(5x ^{2} + 3a)}\)
\(\displaystyle{ 0 = x ^{2}(5x ^{2} + 3a)}\)
\(\displaystyle{ x = 0 \vee 5x ^{2} + 3a =0}\)

\(\displaystyle{ 1)}\)
\(\displaystyle{ x = 0}\)
\(\displaystyle{ a \in R \wedge b = 0}\)
Z założenia w zadaniu odrzucamy to rozwiązanie.

\(\displaystyle{ 2)}\)
\(\displaystyle{ 5x ^{2} + 3a =0}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} \Delta = -60a \\ \Delta = 0 \end{cases} \vee \begin{cases} \Delta = -60a \\ \Delta > 0 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ 2.1)}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} \Delta = -60a \\ \Delta = 0 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ -60a = 0}\)
\(\displaystyle{ a=0}\)
\(\displaystyle{ a = 0 \wedge b = 0}\)
Z założenia w zadaniu odrzucamy to rozwiązanie.

\(\displaystyle{ 2.2)}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} \Delta = -60a \\ \Delta > 0 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ a < 0}\)

\(\displaystyle{ 5x ^{2} - 3a =0 \wedge a > 0}\)
\(\displaystyle{ ( \sqrt{5}x - \sqrt{3a})(\sqrt{5}x + \sqrt{3a})=0}\)
\(\displaystyle{ x = \frac{\sqrt{3a}}{\sqrt{5}} x = - \frac{\sqrt{3a}}{\sqrt{5}}}\)

Podstawiamy do wielomianu w(x) pamiętając, że a < 0

\(\displaystyle{ b = \frac{9a ^{2} \sqrt{-3a}}{25\sqrt{5}} + \frac{-3a \sqrt{-3a}}{5\sqrt{5}} b = -\frac{9a ^{2} \sqrt{-3a}}{25\sqrt{5}} - \frac{-3a \sqrt{-3a}}{5\sqrt{5}}}\)

rozwiązaniem zatem są wszystkie pary liczb:
\(\displaystyle{ (a, \frac{9a ^{2} \sqrt{-3a}}{25\sqrt{5}} + \frac{-3a \sqrt{-3a}}{5\sqrt{5}}) a a}\)

[klaustrofob]

dobrze, że Kalesanty poprawił... teraz szkic dalszego - rozważmy funkcję \(\displaystyle{ f(x)=x^5+ax^3+b}\). jej pochodna jest równa \(\displaystyle{ 5x^4+3ax^2=x^2(5x^2+3a)}\). dla \(\displaystyle{ a\geq 0}\) w ogóle nie zmienia znaku, tj. funkcja rośnie i wobec tego funkcja ma tylko jeden pierwiastek. dla a