Czy f. jest różnowartościowa?

[mielnior]

Po raz kolejny mam problem z wartością bezwzględną - jak się sprawdza poniższą funkcję "czy jest różnowartościowa, lub "na" (zbiór)?" Ładnie proszę o pomoc.
\(\displaystyle{ f(x)=|x^2+2x+5|, \ f: \ R R\\
i \ druga\\
f(x)=2^x^+^1+\sin x, \ f: \ R (y:y\geqslant -1)}\)

[natkoza]

\(\displaystyle{ f(x)=|x^2+2x+5|}\)
nie jest to funkcja "na", gdyż przyjmuje tylko wartości nieujemne(a nawet tylko dodatnie, bo mijsc zerowych nie ma).
nie jest to też funkcja różnowartościowa bo każdą wartość przyjmuje dwa razy

[mielnior]

Dzięki natkoza, a co z tą drugą?

[Ateos]

\(\displaystyle{ f(x)=2^{x+1}+sinx}\) ,\(\displaystyle{ 2^{x+1}}\) jest roznowartosciowa, ale sinus juz nie jest wiec suma tez nie bedzie roznowartosciowa.

[mielnior]

ok, ale jak napiszę na sprawdzianie że to jest oczywiste, że sin x nie jest funkcją różnowartościową i przedstawię powyższy argument dla uzasadnienia kompletnie nic nie licząc, czy to wystarczy?

[Ateos]

to oprocz tego udowodnij ze sinus nie jesr roznowartosciowy.

[Kalesanty]

Tutaj na sprawdzianie poleciłbym skorzystanie z definicji funkcji różnowartościowej
Funkcja jest różnowartościowa wtedy i tylko wtedy gdy:
\(\displaystyle{ \bigwedge\limits_{x_{1},x_{2}\in X \wedge x_{1}\neq x_{2}} f(x_{1})\neq f(x_{2})}\)
Jeśli podasz kontrprzykład, który jest sprzeczny z definicją, funkcja nie jest różnowartościowa.
Dla drugiej funkcji skorzystaj z pomocy Ateos'a
Pozdrawiam
P.S. Ja tak robiłem na sprawdzianach i się sprawdzało

[mielnior]

Jeszcze mam jedno pytanko do tego udowadniania... bo trochę nie kumam - powiedzmy, że mam funkcję \(\displaystyle{ y=x^2}\) - wiadomo, że ta funkcja jest parabolą i z wykresu widać, że nie jest różnowartościowa. Ale przyrównując ją z definicji - widać, że jak podstawię np \(\displaystyle{ x_1=1, \ x_2=-1}\) , to udowodnię w ten sposób, że nie jest różnowartościowa, tylko skąd mam wiedzieć, że akurat mam podstawić pod te iksy taką samą wartość z przeciwnym znakiem? A jakbym podstawił odpowiednio 1 i 2, to by mi wyszło, że jest różnowartościowa -rozumiecie, o co mi chodzi? Co z tego, że przyrównam je do siebie? - zawsze wychodzi tak samo. Jakbym nie wiedział, jak wykres tej funkcji wygląda i nie umiał jej narysować, to co wtedy?

[robert9000]

\(\displaystyle{ x_{1} x_{2} f(x_{1}) f(x_{2}) \\
x_{1}^{2} x_{2}^{2} \\
|x_{1}| |x_{2}| \\
x_{1} x_{2} x_{1} -x_{2}}\)

pierwsza część spełniona z założenia, ale druga niestety nie

[Ateos]

tylko skąd mam wiedzieć, że akurat mam podstawić pod te iksy taką samą wartość z przeciwnym znakiem? A jakbym podstawił odpowiednio 1 i 2, to by mi wyszło, że jest różnowartościowa -rozumiecie, o co mi chodzi?

własnie w tym jest problem, nie wiadomo gdzie jakaś skomplikowana funkcja jest różnowartośćiowa, czy nie jest. Bez wykresu nie ma szans tego określić. A wykres prawie zawsze narysujesz posługując sie monotonicznoscia pochodnej i extremami itp.