1. Dany jest wielomian \(\displaystyle{ W(x)=x ^{3} +4x+p}\), gdzie \(\displaystyle{ p}\) jest liczą pierwszą. Znajdz \(\displaystyle{ p}\) wiedząc, że \(\displaystyle{ W(x)}\) ma pieerwiastek całkowity.
2.Wykaż, że jeżeli wielomian \(\displaystyle{ W(x)=x ^{6} +ax ^{4} +bx ^{2} +c}\) jest podzielny przez trójmian \(\displaystyle{ x ^{2} +x+1}\), to jest również podzielny przez trójmian \(\displaystyle{ x ^{2}-x+1}\).
Znajdź współczynnik, wykaż podzielność przez trójmian
-
wojtek6214
- Użytkownik
- Posty: 735
- Rejestracja: 28 gru 2007, o 20:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 187 razy
- Pomógł: 1 raz
Znajdź współczynnik, wykaż podzielność przez trójmian
Zadanie 1
Jest takie twierdzenie dla znajdowania pierwiastków wymiernych - a liczba pierwsza takim jest. Polega ono na tym , że gdy wiemy, ze wielomian ma pierwiastek wymierny wówczas na pewno będzie nim liczba(x) będąca:
\(\displaystyle{ x= \frac{p}{q}}\) gdzie
p - to dzielnik liczby wolnej - w tym przypadku liczby p (pierwszej) , skoro jest to liczba pierwsza , to ta liczba ma następujące dzielniki: -p, -1, 1, p
q- jest to natomiast współczynnik przy najwyższej potędze , czyli 1 , więc dzielniki jedynki to : -1,1
i teraz musisz sobie utworzyć wszystkie możliwe pierwiastki i sprawdzać dla którego p wychodzi liczbą pierwszą, czyli dla następujących pierwiastków:
-p,p,-1,1
Wiec podstawiasz po kolei do równania
\(\displaystyle{ W(-p)=0}\)
\(\displaystyle{ W(-p) = p ^{3} +4p+ p}\)
\(\displaystyle{ p ^{3} +5p =0}\)
\(\displaystyle{ p(p ^{2} +5)=0}\)
p=0 zaś w nawiasie wychodzi nam sprzeczność . Ale wiemy, ze p należy do pierwszych a zero nie spełnia warunku
I tak do każdego podstawiaj i Ci w każdym wyjdzie sprzeczne , jednak jak podstawisz (-1) otrzymasz:
\(\displaystyle{ W(-1)=0}\)
\(\displaystyle{ W(-1) = (-1) ^{3} +4 (-1)+ p}\)
\(\displaystyle{ -1- 4 +p =0}\)
\(\displaystyle{ p=5}\)
p=5 należy do założenia bo jest liczbą pierwsza
Więc wynikiem bedzie p=5
pozdrawiam
Jest takie twierdzenie dla znajdowania pierwiastków wymiernych - a liczba pierwsza takim jest. Polega ono na tym , że gdy wiemy, ze wielomian ma pierwiastek wymierny wówczas na pewno będzie nim liczba(x) będąca:
\(\displaystyle{ x= \frac{p}{q}}\) gdzie
p - to dzielnik liczby wolnej - w tym przypadku liczby p (pierwszej) , skoro jest to liczba pierwsza , to ta liczba ma następujące dzielniki: -p, -1, 1, p
q- jest to natomiast współczynnik przy najwyższej potędze , czyli 1 , więc dzielniki jedynki to : -1,1
i teraz musisz sobie utworzyć wszystkie możliwe pierwiastki i sprawdzać dla którego p wychodzi liczbą pierwszą, czyli dla następujących pierwiastków:
-p,p,-1,1
Wiec podstawiasz po kolei do równania
\(\displaystyle{ W(-p)=0}\)
\(\displaystyle{ W(-p) = p ^{3} +4p+ p}\)
\(\displaystyle{ p ^{3} +5p =0}\)
\(\displaystyle{ p(p ^{2} +5)=0}\)
p=0 zaś w nawiasie wychodzi nam sprzeczność . Ale wiemy, ze p należy do pierwszych a zero nie spełnia warunku
I tak do każdego podstawiaj i Ci w każdym wyjdzie sprzeczne , jednak jak podstawisz (-1) otrzymasz:
\(\displaystyle{ W(-1)=0}\)
\(\displaystyle{ W(-1) = (-1) ^{3} +4 (-1)+ p}\)
\(\displaystyle{ -1- 4 +p =0}\)
\(\displaystyle{ p=5}\)
p=5 należy do założenia bo jest liczbą pierwsza
Więc wynikiem bedzie p=5
pozdrawiam
-
Elvis
- Użytkownik
- Posty: 765
- Rejestracja: 17 paź 2004, o 18:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 89 razy
Znajdź współczynnik, wykaż podzielność przez trójmian
1. https://matematyka.pl/73933.htm?sid=a08e ... 3e2dfd42b0
2. Zauważ, że \(\displaystyle{ x^6 + ax^4 + bx^2 + c = (x^2 + x + 1)[x^4 - x^3 + ax^2 + (1-a)x + (b-1)] + (a-b)x + (c - b + 1)}\). Skoro ma być podzielny, to reszta jest zerowa, czyli \(\displaystyle{ a=b=c+1}\). Z tego już powinno pójść. Mogę się założyć, że jest prostsze rozwiązanie, ale zawsze łatwiej nie myśleć.
2. Zauważ, że \(\displaystyle{ x^6 + ax^4 + bx^2 + c = (x^2 + x + 1)[x^4 - x^3 + ax^2 + (1-a)x + (b-1)] + (a-b)x + (c - b + 1)}\). Skoro ma być podzielny, to reszta jest zerowa, czyli \(\displaystyle{ a=b=c+1}\). Z tego już powinno pójść. Mogę się założyć, że jest prostsze rozwiązanie, ale zawsze łatwiej nie myśleć.