Dwukrotny pierwiastek wilomianu

[pavel189]

Mam problem z zadaniem:

Wykaż, że jeżeli wielomian \(\displaystyle{ W(x)= x^{3} +ax+b}\) ma pierwiastek dwukrotny to, \(\displaystyle{ 4a^{3} +27b^{2}=0}\)

Próbowałem liczyć możliwe pierwiastki czyli +/-b, ale nie moge dojść do owej równości. pRóbowałem liczyć róznież ze wzorów dla wilomianów 3-ego stopnia ale nie moge za groma dojść skąd taka równość bo wychodzi mi zupełnie inaczej tzn stopnie się zgadzja, ale nie współczynniki.

[klaustrofob]

jeżeli ma dwukrotny, to: \(\displaystyle{ x^{3} +ax+b=(x-p)^2(x-q)=x^3+(-2p-q)x^2+(2pq+p^2)x-p^2q}\). nawias przy x^2 jest równy zero, co dostarcza pewnych informacji i dalej kombinujesz.

[schmude]

Niech \(\displaystyle{ x_{0}}\) będzie dwukrotnym pierwiastkiem tego wielomianu. Wówczas:

\(\displaystyle{ W(x_{0})=0

W'(x_{0})=0


x_{0} ^{3} +ax_{0}+b=0

3x_{0} ^{2} +a=0}\)

Stąd mamy, że \(\displaystyle{ x_{0}^6=-( \frac{a}{3} ) ^{3}}\) oraz podstawiając a w pierwszym równaniu otrzymujemy:

\(\displaystyle{ x_{0}^3-2x_{0}^3+b=0

2x_{0}^3=b}\)
\(\displaystyle{ x_{0}^6=( \frac{b}{2} ) ^{2}}\)

Dalej mamy

\(\displaystyle{ x_{0}^6=( \frac{b}{2} ) ^{2}=-( \frac{a}{3} ) ^{3}}\)
A to jest szukana równość