Mam problem z zadaniem:
Wykaż, że jeżeli wielomian \(\displaystyle{ W(x)= x^{3} +ax+b}\) ma pierwiastek dwukrotny to, \(\displaystyle{ 4a^{3} +27b^{2}=0}\)
Próbowałem liczyć możliwe pierwiastki czyli +/-b, ale nie moge dojść do owej równości. pRóbowałem liczyć róznież ze wzorów dla wilomianów 3-ego stopnia ale nie moge za groma dojść skąd taka równość bo wychodzi mi zupełnie inaczej tzn stopnie się zgadzja, ale nie współczynniki.
Dwukrotny pierwiastek wilomianu
- klaustrofob
- Użytkownik
- Posty: 1984
- Rejestracja: 11 lis 2007, o 07:29
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: inowrocław
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 607 razy
Dwukrotny pierwiastek wilomianu
jeżeli ma dwukrotny, to: \(\displaystyle{ x^{3} +ax+b=(x-p)^2(x-q)=x^3+(-2p-q)x^2+(2pq+p^2)x-p^2q}\). nawias przy x^2 jest równy zero, co dostarcza pewnych informacji i dalej kombinujesz.
-
- Użytkownik
- Posty: 119
- Rejestracja: 29 lis 2007, o 23:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toruń
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 6 razy
Dwukrotny pierwiastek wilomianu
Niech \(\displaystyle{ x_{0}}\) będzie dwukrotnym pierwiastkiem tego wielomianu. Wówczas:
\(\displaystyle{ W(x_{0})=0
W'(x_{0})=0
x_{0} ^{3} +ax_{0}+b=0
3x_{0} ^{2} +a=0}\)
Stąd mamy, że \(\displaystyle{ x_{0}^6=-( \frac{a}{3} ) ^{3}}\) oraz podstawiając a w pierwszym równaniu otrzymujemy:
\(\displaystyle{ x_{0}^3-2x_{0}^3+b=0
2x_{0}^3=b}\)
\(\displaystyle{ x_{0}^6=( \frac{b}{2} ) ^{2}}\)
Dalej mamy
\(\displaystyle{ x_{0}^6=( \frac{b}{2} ) ^{2}=-( \frac{a}{3} ) ^{3}}\)
A to jest szukana równość
\(\displaystyle{ W(x_{0})=0
W'(x_{0})=0
x_{0} ^{3} +ax_{0}+b=0
3x_{0} ^{2} +a=0}\)
Stąd mamy, że \(\displaystyle{ x_{0}^6=-( \frac{a}{3} ) ^{3}}\) oraz podstawiając a w pierwszym równaniu otrzymujemy:
\(\displaystyle{ x_{0}^3-2x_{0}^3+b=0
2x_{0}^3=b}\)
\(\displaystyle{ x_{0}^6=( \frac{b}{2} ) ^{2}}\)
Dalej mamy
\(\displaystyle{ x_{0}^6=( \frac{b}{2} ) ^{2}=-( \frac{a}{3} ) ^{3}}\)
A to jest szukana równość