wielomian , pierwiastek niewymierny, wspolczynniki wymierne

[zordon69]

Jednym z miejsc zerowch funkcji \(\displaystyle{ f(x)=x^3 + bx^2 + cx + 4}\) jest \(\displaystyle{ 2- \sqrt{5}}\) znajdz pozostale miejsca zerowe funkcji \(\displaystyle{ f}\) wiedzac ze wspolczynniki \(\displaystyle{ b}\) i \(\displaystyle{ c}\) sa liczbami wymiernymi.

wiadomo ze na poczatek wstawaim dany pierwiastek do rownania ale co pozniej ?

[Elvis]

Podstawiasz, przerzucasz wszystko niewymierne na jedną stronę, wszystko wymierne na drugą. Wyszło mi \(\displaystyle{ \sqrt{5}(4b+c+17)=9b+2c+42}\), ale głowy nie dam. Obie strony muszą być zerowe, stąd dwa równania na b i c. Wyliczasz współczynniki i obliczasz pozostałe pierwiastki.

[Crizz]

Po podstawieniu otrzymaną zależnośc przedstawiasz w postaci \(\displaystyle{ p+q \sqrt{5}=0}\), gdzie p i q są wymierne. Gdyby q było różne od zera, to liczba \(\displaystyle{ p+q \sqrt{5}}\) byłaby niewymierna jako suma liczby wymiernej i niewymiernej, a wiemy, że jest ona równa zero. Stąd \(\displaystyle{ q=0}\), więc także \(\displaystyle{ p=0}\). Rozwiązujesz układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} p=0 \\ q=0 \end{cases}}\)
i masz odpowiedź. Nie wiem, czy się nie walnąłem gdzieś, ale dostałem \(\displaystyle{ -(4b+c+17) \sqrt{5} +(42+2c+9b)=0}\), skąd
\(\displaystyle{ \begin{cases} 4b+c+17=0 \\ 42+2c+9b=0 \end{cases}}\).

[zordon69]

dzieki sam do tego doszedlem zaraz po napisaniu tego tematu ale juz nie chcialem robic zamieszania