Wyznacz resztę z dzielenia wielomianu.

[joasia']

Reszta z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\) przez wielomian \(\displaystyle{ P(x)=x^4+x^3-x-1}\) wynosi \(\displaystyle{ x^3+x^2-2x+1}\). Wyznacz resztę z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\) przez \(\displaystyle{ (x^2-1)}\).

Proszę o pomoc, jakieś wskazówki, bo robiłam w 2 stronę, że P(x) było mniejsze, niż nowy dzielnik.

[czarny_89]

Ja doszedłem do następujących równań:

1.
\(\displaystyle{ W(x):[(x ^{2} -1) (x ^{2} +x+1)]=S _{1} (x)+x ^{3} +x ^{2} -2x+1}\)

2.
\(\displaystyle{ W(x):(x ^{2} -1) = S _{2} (x)+ R(x)}\)

R(x) ma st(R(x)) równy bądź mniejszy od 1 czyli zapisujemy:
\(\displaystyle{ R(x)=ax+b}\)

Więc:
\(\displaystyle{ W(x):(x ^{2} -1) = S _{2} (x)+ ax+b}\)

Dalej na razie się zastanawiam jak poszybować dalej...
Może ktoś w tym czasie podsunie pomysł?

[Elvis]

Wskazówki:
\(\displaystyle{ x^4 + x^3 - x - 1 = (x^2 - 1)(x^2 + x + 1) \\
x^3 + x^2 - 2x + 1 = (x^2 - 1)(x+1) - x + 2}\)

[czarny_89]

Poniżej przedstawiam dokładne rozwiązanie.
\(\displaystyle{ W(x)=[(x ^{2} -1) (x ^{2} +x+1)] S _{1} (x)+x ^{3} +(x^2 - 1)(x+1) - x + 2\\
W(1)=[(x ^{2} -1) (1 ^{2} +1+1)] S _{1} (1) +(1^2 - 1)(1+1) - 1 + 2=1}\)

\(\displaystyle{ W(1)=1}\)
Analogicznie dla drugiego równania:
\(\displaystyle{ W(-1)=3}\)

Wychodzi:
\(\displaystyle{ W(1)=1=a (1)+b\\
W(-1)=3=a (-1)+b}\)

\(\displaystyle{ a=-1\\
b=2\\
R(x)=-x+2}\)

Pozdrawiam, mam nadzieję, że pomogłem;)