Jak do tego zadania się zabrać..?
Wykaż, że jeśli równanie \(\displaystyle{ x^{3} + ax + b \,=\, 0}\) ma rozwiązanie dwukrotne, to \(\displaystyle{ 4a^{3} + 27b^{2}\,=\,0}\) .
r-nie 3 stopnia z 2krotnym pierwiastkiem
-
- Użytkownik
- Posty: 22
- Rejestracja: 8 maja 2008, o 22:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: białystok
- Podziękował: 5 razy
r-nie 3 stopnia z 2krotnym pierwiastkiem
rozwiązania dwukrotne, czyli np. \(\displaystyle{ x_{1} + x_{1} + x_{3}\,=\, - \frac{b}{a} , x_{1}\cdot x_{1}\cdot x_{3}\,=\, - \frac{d}{a}}\) , gdzie
a=1 b=0 c=a d=b ? i z tego jakoś kombinować :/ ?
a=1 b=0 c=a d=b ? i z tego jakoś kombinować :/ ?
-
- Użytkownik
- Posty: 70
- Rejestracja: 24 lut 2007, o 16:06
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Pomógł: 18 razy
r-nie 3 stopnia z 2krotnym pierwiastkiem
Dokładnie, tylko trzeba jeszcze napisać trzecie równanie. Zauważ, że skoro \(\displaystyle{ b = 0}\) to możesz powiązać \(\displaystyle{ x_1\hbox { i } x_2}\). Postaraj się wyrazić A i B w zależności od \(\displaystyle{ x_1}\).
Edit. Zrobił się mały konflikt oznaczeń - A i B to współczynniki z głównego równania.
Edit. Zrobił się mały konflikt oznaczeń - A i B to współczynniki z głównego równania.
-
- Użytkownik
- Posty: 22
- Rejestracja: 8 maja 2008, o 22:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: białystok
- Podziękował: 5 razy
r-nie 3 stopnia z 2krotnym pierwiastkiem
A więc doszedłem do czegoś takiego: \(\displaystyle{ (x_{2})^{3}\,=\, - 4 B}\)
oraz
\(\displaystyle{ x^{2} + 2\cdot x\cdot x_{2}\,=\,A}\)
Tylko jak teraz wyrazić \(\displaystyle{ x}\) za pomocą \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\).. ?
oraz
\(\displaystyle{ x^{2} + 2\cdot x\cdot x_{2}\,=\,A}\)
Tylko jak teraz wyrazić \(\displaystyle{ x}\) za pomocą \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\).. ?
-
- Użytkownik
- Posty: 70
- Rejestracja: 24 lut 2007, o 16:06
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Pomógł: 18 razy
r-nie 3 stopnia z 2krotnym pierwiastkiem
Coś dziwnie to napisałeś...
Niech \(\displaystyle{ x_1}\) - pierwiastek podwójny, \(\displaystyle{ x_2}\) - drugi pierwiastek
Ze wzorów Viete'a dostaniesz:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_1 + x_ 1+ x_2 = 0 \\ x_1 x_2 + x_1 x_2 + x_1 x_1 = A\\ x_1x_1x_2 = -B\end{cases}}\)
Czyli
\(\displaystyle{ \begin{cases} -2x_1 = x_2 \\ 2x_1 x_2 + x_1^2 = A\\ x_1^2x_2 = -B\end{cases}}\)
Wstawiam pierwsze równanie do pozostałych
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2x_1 (-2x_1) + x_1^2 = A\\ x_1^2(-2x_1) = -B\end{cases}}\)
Stąd:
\(\displaystyle{ \begin{cases} -3x_1^2 = A\\ 2x_1^3 = B\end{cases}}\)
Podnosimy do takich potęg, żeby w obu było \(\displaystyle{ x_1^6}\):
\(\displaystyle{ \begin{cases} -27x_1^6 = A^3\\ 4x_1^6 = B^2\end{cases}}\)
Czyli:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_1^6 = -\frac{A^3}{27} \\ x_1^6 = \frac{B^2}{4} \end{cases}}\)
Przeto:
\(\displaystyle{ -\frac{A^3}{27} = \frac{B^2}{4}}\)
Równoważnie:
\(\displaystyle{ 4A^3 = -27B^2}\)
Aha! Faktycznie:
\(\displaystyle{ 4A^3 +27B^2 = 0}\)
Niech \(\displaystyle{ x_1}\) - pierwiastek podwójny, \(\displaystyle{ x_2}\) - drugi pierwiastek
Ze wzorów Viete'a dostaniesz:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_1 + x_ 1+ x_2 = 0 \\ x_1 x_2 + x_1 x_2 + x_1 x_1 = A\\ x_1x_1x_2 = -B\end{cases}}\)
Czyli
\(\displaystyle{ \begin{cases} -2x_1 = x_2 \\ 2x_1 x_2 + x_1^2 = A\\ x_1^2x_2 = -B\end{cases}}\)
Wstawiam pierwsze równanie do pozostałych
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2x_1 (-2x_1) + x_1^2 = A\\ x_1^2(-2x_1) = -B\end{cases}}\)
Stąd:
\(\displaystyle{ \begin{cases} -3x_1^2 = A\\ 2x_1^3 = B\end{cases}}\)
Podnosimy do takich potęg, żeby w obu było \(\displaystyle{ x_1^6}\):
\(\displaystyle{ \begin{cases} -27x_1^6 = A^3\\ 4x_1^6 = B^2\end{cases}}\)
Czyli:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_1^6 = -\frac{A^3}{27} \\ x_1^6 = \frac{B^2}{4} \end{cases}}\)
Przeto:
\(\displaystyle{ -\frac{A^3}{27} = \frac{B^2}{4}}\)
Równoważnie:
\(\displaystyle{ 4A^3 = -27B^2}\)
Aha! Faktycznie:
\(\displaystyle{ 4A^3 +27B^2 = 0}\)