r-nie 3 stopnia z 2krotnym pierwiastkiem

[lobuz09]

Jak do tego zadania się zabrać..?

Wykaż, że jeśli równanie \(\displaystyle{ x^{3} + ax + b \,=\, 0}\) ma rozwiązanie dwukrotne, to \(\displaystyle{ 4a^{3} + 27b^{2}\,=\,0}\) .

[wjzz]

Podpowiedź: wykorzystaj wzory Viete'a.

[lobuz09]

rozwiązania dwukrotne, czyli np. \(\displaystyle{ x_{1} + x_{1} + x_{3}\,=\, - \frac{b}{a} , x_{1}\cdot x_{1}\cdot x_{3}\,=\, - \frac{d}{a}}\) , gdzie
a=1 b=0 c=a d=b ? i z tego jakoś kombinować :/ ?

[wjzz]

Dokładnie, tylko trzeba jeszcze napisać trzecie równanie. Zauważ, że skoro \(\displaystyle{ b = 0}\) to możesz powiązać \(\displaystyle{ x_1\hbox { i } x_2}\). Postaraj się wyrazić A i B w zależności od \(\displaystyle{ x_1}\).

Edit. Zrobił się mały konflikt oznaczeń - A i B to współczynniki z głównego równania.

[lobuz09]

A więc doszedłem do czegoś takiego: \(\displaystyle{ (x_{2})^{3}\,=\, - 4 B}\)
oraz
\(\displaystyle{ x^{2} + 2\cdot x\cdot x_{2}\,=\,A}\)

Tylko jak teraz wyrazić \(\displaystyle{ x}\) za pomocą \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\).. ?

[wjzz]

Coś dziwnie to napisałeś...

Niech \(\displaystyle{ x_1}\) - pierwiastek podwójny, \(\displaystyle{ x_2}\) - drugi pierwiastek

Ze wzorów Viete'a dostaniesz:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_1 + x_ 1+ x_2 = 0 \\ x_1 x_2 + x_1 x_2 + x_1 x_1 = A\\ x_1x_1x_2 = -B\end{cases}}\)

Czyli
\(\displaystyle{ \begin{cases} -2x_1 = x_2 \\ 2x_1 x_2 + x_1^2 = A\\ x_1^2x_2 = -B\end{cases}}\)

Wstawiam pierwsze równanie do pozostałych
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2x_1 (-2x_1) + x_1^2 = A\\ x_1^2(-2x_1) = -B\end{cases}}\)

Stąd:
\(\displaystyle{ \begin{cases} -3x_1^2 = A\\ 2x_1^3 = B\end{cases}}\)

Podnosimy do takich potęg, żeby w obu było \(\displaystyle{ x_1^6}\):
\(\displaystyle{ \begin{cases} -27x_1^6 = A^3\\ 4x_1^6 = B^2\end{cases}}\)

Czyli:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_1^6 = -\frac{A^3}{27} \\ x_1^6 = \frac{B^2}{4} \end{cases}}\)

Przeto:
\(\displaystyle{ -\frac{A^3}{27} = \frac{B^2}{4}}\)

Równoważnie:
\(\displaystyle{ 4A^3 = -27B^2}\)

Aha! Faktycznie:
\(\displaystyle{ 4A^3 +27B^2 = 0}\)

[lobuz09]

Dzięki wielkie wjzz !!