Witam, proszę o pomoc przy następujących dwóch zadaniach:
1. Nie wykonując dzielenia, znajdź resztę z dzielenia wielomianu\(\displaystyle{ f(x)= 25x^4 - \frac{2}{3}x -\frac{11}{15}}\) przez wielomian \(\displaystyle{ g(x)= 5x -2}\)
2. Rozwiąż równanie: \(\displaystyle{ 2x^3 + 7x^2 + 2x +10 +4x^3 - 30x+ 5 = 0}\)
Dwa zadania- wielomiany
-
meninio
- Użytkownik
- Posty: 1876
- Rejestracja: 3 maja 2008, o 11:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Jastrzębie Zdrój
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 467 razy
Dwa zadania- wielomiany
Odnośnie pierwszego:
Wystarczy podstawić do wielomianu \(\displaystyle{ W_{(x)}}\) za \(\displaystyle{ x}\) wartość dla której zeruje sie wielomian przez, który dzielimy, a więc w naszym przypadku \(\displaystyle{ x= \frac{2}{5}}\) .
Czyli reszt jest równa:
\(\displaystyle{ R=W_{ (\frac{2}{5})}=25 ft( \frac{2}{5} \right) ^4- \frac{2}{3} * \frac{2}{5} - \frac{11}{15} =- \frac{9}{25}}\)
Uzasadanienie:
Jeśli wielomian \(\displaystyle{ W_{(x)}}\) dzielimy przez dwumian \(\displaystyle{ x-a}\) to wielomian \(\displaystyle{ W_{(x)}}\) możemy zapisać w następującej postaci:
\(\displaystyle{ W_{(x)}=Q_{(x)}*(x-a)+R}\)
Gdzie \(\displaystyle{ R}\) w naszym powyższym wzorze to liczba bo zawsze reszta z dzielenia przez wielomian n-tego stopnia jest wielomianem stopnia n-1. Więc jeśli my dzielimy wielomian \(\displaystyle{ W_{(x)}}\) przez wielomian pierwszego stopnia to reszta jest wielomianem zerowego stopnia, czyli po prostu liczbą.
Podstawiając do powyższego równania \(\displaystyle{ x=a}\) otrzymujemy:
\(\displaystyle{ W_{(a)}=Q_{(a)}*(a-a)+R}\)
\(\displaystyle{ W_{(a)}=Q_{(a)}*0+R}\)
\(\displaystyle{ W_{(a)}=R}\)
Wystarczy podstawić do wielomianu \(\displaystyle{ W_{(x)}}\) za \(\displaystyle{ x}\) wartość dla której zeruje sie wielomian przez, który dzielimy, a więc w naszym przypadku \(\displaystyle{ x= \frac{2}{5}}\) .
Czyli reszt jest równa:
\(\displaystyle{ R=W_{ (\frac{2}{5})}=25 ft( \frac{2}{5} \right) ^4- \frac{2}{3} * \frac{2}{5} - \frac{11}{15} =- \frac{9}{25}}\)
Uzasadanienie:
Jeśli wielomian \(\displaystyle{ W_{(x)}}\) dzielimy przez dwumian \(\displaystyle{ x-a}\) to wielomian \(\displaystyle{ W_{(x)}}\) możemy zapisać w następującej postaci:
\(\displaystyle{ W_{(x)}=Q_{(x)}*(x-a)+R}\)
Gdzie \(\displaystyle{ R}\) w naszym powyższym wzorze to liczba bo zawsze reszta z dzielenia przez wielomian n-tego stopnia jest wielomianem stopnia n-1. Więc jeśli my dzielimy wielomian \(\displaystyle{ W_{(x)}}\) przez wielomian pierwszego stopnia to reszta jest wielomianem zerowego stopnia, czyli po prostu liczbą.
Podstawiając do powyższego równania \(\displaystyle{ x=a}\) otrzymujemy:
\(\displaystyle{ W_{(a)}=Q_{(a)}*(a-a)+R}\)
\(\displaystyle{ W_{(a)}=Q_{(a)}*0+R}\)
\(\displaystyle{ W_{(a)}=R}\)