1. Wielomian W(x) jest piątego stopnia i ma pierwiastek dwukrotny \(\displaystyle{ 2}\) i pierwiastek trzykrotny \(\displaystyle{ 3}\). Ponadto wiadomo, że \(\displaystyle{ W(4)=8}\). Znajdź wartość tego wielomianu w punkcie \(\displaystyle{ x=5}\) oraz wyznacz wszystkie wartości argumentów, dla których wartości wielomianu są nieujemne.
2. Reszta z wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\) przez dwumian \(\displaystyle{ (x+2)}\) wynosi \(\displaystyle{ (-4)}\) a reszta z dzielenia tego wielomianu przez \(\displaystyle{ (x-3)}\) wynosi \(\displaystyle{ 5}\). Wyznacz resztę z dzielenia tego wielomianu przez \(\displaystyle{ x^{2}-x-6}\).
zadania z wielomianów
-
- Użytkownik
- Posty: 879
- Rejestracja: 1 wrz 2007, o 13:33
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 221 razy
zadania z wielomianów
1.
\(\displaystyle{ \begin{cases} W(x)=a (x-2)^{2} (x-3)^{3} \\ W(4)=8 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ 8=a 2^{2} 1^{3}}\)
\(\displaystyle{ a=2}\)
czyli \(\displaystyle{ W(x)=2 (x-2)^{2} (x-3)^{3}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} W(x)=a (x-2)^{2} (x-3)^{3} \\ W(4)=8 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ 8=a 2^{2} 1^{3}}\)
\(\displaystyle{ a=2}\)
czyli \(\displaystyle{ W(x)=2 (x-2)^{2} (x-3)^{3}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 561
- Rejestracja: 6 lis 2007, o 08:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznań/Kraków
- Podziękował: 25 razy
- Pomógł: 64 razy
zadania z wielomianów
\(\displaystyle{ 2}\)
\(\displaystyle{ x^2-x-6=0}\) \(\displaystyle{ \Rightarrow \Delta=25 x_1=3 x_2=-2}\)
Z tego wynika, że nasz wielomian:
\(\displaystyle{ W(x)=(x-3)(x+2) P(x)+Ax+B}\), gdzie \(\displaystyle{ (Ax+B)}\) to nasza szukana reszta.
Ponieważ reszta z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\) przez dwumian \(\displaystyle{ (x+2)}\) wynosi \(\displaystyle{ -4}\), więc:
\(\displaystyle{ W(-2)=-4}\), czyli
\(\displaystyle{ W(-2)=(-2-3)(-2+2) P(x)-2A+B=-4}\)
\(\displaystyle{ 0-2A+B=-4 -2A+B=-4}\)
Teraz analogicznie, jak rozwiązywałem wyżej drugi przypadek, reszta z dzielenia przez dwumian \(\displaystyle{ (x-3)}\) wynosi \(\displaystyle{ 5}\), więc:
\(\displaystyle{ W(3)=5}\)
\(\displaystyle{ W(3)=(3-3)(3+2) P(x)+3A+B=5}\)
\(\displaystyle{ 0+3A+B=5 3A+B=5}\)
Mamy zatem układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi: A i B.
\(\displaystyle{ \begin{cases} -2A+B=-4 \\ 3A+B=5 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} A= \frac{9}{5} \\ B= \frac{-2}{5} \end{cases}}\)
Szukana reszta wynosi \(\displaystyle{ \frac{9}{5}x- \frac{2}{5}}\)
POZDRO!
\(\displaystyle{ x^2-x-6=0}\) \(\displaystyle{ \Rightarrow \Delta=25 x_1=3 x_2=-2}\)
Z tego wynika, że nasz wielomian:
\(\displaystyle{ W(x)=(x-3)(x+2) P(x)+Ax+B}\), gdzie \(\displaystyle{ (Ax+B)}\) to nasza szukana reszta.
Ponieważ reszta z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\) przez dwumian \(\displaystyle{ (x+2)}\) wynosi \(\displaystyle{ -4}\), więc:
\(\displaystyle{ W(-2)=-4}\), czyli
\(\displaystyle{ W(-2)=(-2-3)(-2+2) P(x)-2A+B=-4}\)
\(\displaystyle{ 0-2A+B=-4 -2A+B=-4}\)
Teraz analogicznie, jak rozwiązywałem wyżej drugi przypadek, reszta z dzielenia przez dwumian \(\displaystyle{ (x-3)}\) wynosi \(\displaystyle{ 5}\), więc:
\(\displaystyle{ W(3)=5}\)
\(\displaystyle{ W(3)=(3-3)(3+2) P(x)+3A+B=5}\)
\(\displaystyle{ 0+3A+B=5 3A+B=5}\)
Mamy zatem układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi: A i B.
\(\displaystyle{ \begin{cases} -2A+B=-4 \\ 3A+B=5 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} A= \frac{9}{5} \\ B= \frac{-2}{5} \end{cases}}\)
Szukana reszta wynosi \(\displaystyle{ \frac{9}{5}x- \frac{2}{5}}\)
POZDRO!