zadania z wielomianów

[gorzalka8]

1. Wielomian W(x) jest piątego stopnia i ma pierwiastek dwukrotny \(\displaystyle{ 2}\) i pierwiastek trzykrotny \(\displaystyle{ 3}\). Ponadto wiadomo, że \(\displaystyle{ W(4)=8}\). Znajdź wartość tego wielomianu w punkcie \(\displaystyle{ x=5}\) oraz wyznacz wszystkie wartości argumentów, dla których wartości wielomianu są nieujemne.

2. Reszta z wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\) przez dwumian \(\displaystyle{ (x+2)}\) wynosi \(\displaystyle{ (-4)}\) a reszta z dzielenia tego wielomianu przez \(\displaystyle{ (x-3)}\) wynosi \(\displaystyle{ 5}\). Wyznacz resztę z dzielenia tego wielomianu przez \(\displaystyle{ x^{2}-x-6}\).

[Brzytwa]

1.
\(\displaystyle{ \begin{cases} W(x)=a (x-2)^{2} (x-3)^{3} \\ W(4)=8 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ 8=a 2^{2} 1^{3}}\)
\(\displaystyle{ a=2}\)

czyli \(\displaystyle{ W(x)=2 (x-2)^{2} (x-3)^{3}}\)

[Charles90]

\(\displaystyle{ 2}\)

\(\displaystyle{ x^2-x-6=0}\) \(\displaystyle{ \Rightarrow \Delta=25 x_1=3 x_2=-2}\)

Z tego wynika, że nasz wielomian:
\(\displaystyle{ W(x)=(x-3)(x+2) P(x)+Ax+B}\), gdzie \(\displaystyle{ (Ax+B)}\) to nasza szukana reszta.

Ponieważ reszta z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\) przez dwumian \(\displaystyle{ (x+2)}\) wynosi \(\displaystyle{ -4}\), więc:

\(\displaystyle{ W(-2)=-4}\), czyli

\(\displaystyle{ W(-2)=(-2-3)(-2+2) P(x)-2A+B=-4}\)

\(\displaystyle{ 0-2A+B=-4 -2A+B=-4}\)

Teraz analogicznie, jak rozwiązywałem wyżej drugi przypadek, reszta z dzielenia przez dwumian \(\displaystyle{ (x-3)}\) wynosi \(\displaystyle{ 5}\), więc:

\(\displaystyle{ W(3)=5}\)
\(\displaystyle{ W(3)=(3-3)(3+2) P(x)+3A+B=5}\)
\(\displaystyle{ 0+3A+B=5 3A+B=5}\)

Mamy zatem układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi: A i B.

\(\displaystyle{ \begin{cases} -2A+B=-4 \\ 3A+B=5 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} A= \frac{9}{5} \\ B= \frac{-2}{5} \end{cases}}\)

Szukana reszta wynosi \(\displaystyle{ \frac{9}{5}x- \frac{2}{5}}\)

POZDRO!