Kiedy równanie 3stp ma jeden pierw. niewymierny?

[klapson]

Równanie \(\displaystyle{ x^{3}+3x+1=0}\):
a) ma trzy różne pierwiastki rzeczywiste;
b) nie ma pierwiastków całkowitych;
c) ma dokładnie jeden pierwiastek niewymierny.
Wybierz prawidłową odpowiedź.

Na pewno b (wynika choćby z tabelki Hornera), lecz ku mojemu zaskoczeniu również c. Jak dojść do tego, że odp. C jest również prawdziwa?

[EDIT]
Miałem zakładać nowy temat, ale myślę, że problem jest ten sam. Mam zadanie:

Ustal liczbę punktów wspólnych wykresu funkcji f określonej wzorem: \(\displaystyle{ f(x) = x^{3} + 3x^{2}-5}\) i osi \(\displaystyle{ OX}\).

Chciałem znaleźć miejsca zerowe przez tabelkę Hornera, ale wyszło mi, że nie ma. Ale wrzuciłem wzór do programu co rysuje wykresy i pokazał, że przecina się z OX, tylko w jakimś niewymiernym miejscu. Jak zrobić obliczenia, aby wyszedł prawidłowy wynik?

[spajder]

\(\displaystyle{ f(x) = x^3+3x+1}\)

\(\displaystyle{ f'(x) = 2x^2 + 3 > 0}\)

więc funkcja jest rosnąca, ma conajwyżej 1 pierwiastek
ma też conajmniej jeden (bo to wielomian nieparzystego stopnia)

a czy ma wymierny.. sprawdzaj z tw. o pierwiastkach wymiernych

[JankoS]

Miałem zakładać nowy temat, ale myślę, że problem jest ten sam. Mam zadanie:

Ustal liczbę punktów wspólnych wykresu funkcji f określonej wzorem: \(\displaystyle{ f(x) = x^{3} + 3x^{2}-5}\) i osi \(\displaystyle{ OX}\).

Chciałem znaleźć miejsca zerowe przez tabelkę Hornera, ale wyszło mi, że nie ma. Ale wrzuciłem wzór do programu co rysuje wykresy i pokazał, że przecina się z OX, tylko w jakimś niewymiernym miejscu. Jak zrobić obliczenia, aby wyszedł prawidłowy wynik?

\(\displaystyle{ f(x) = x^{3} + 3x^{2}-5=(x-a)(x ^{2}+bx+c)}\)
Po wykonaniu działań po prawej stronie i pogrupwaniu wyznaczamy pierwiastek a i pokazujemy, że trójmian nie ma pierwiastków rzeczywistych.

[enigm32]

Aby wyznaczyć liczbę punktów wspólnych wykresu funkcji \(\displaystyle{ f(x)=x^3+3x^2-5}\) oraz osi odciętych, można również wykonać pomocniczy szkic tego wykresu.
\(\displaystyle{ f'(x)=3x^2+6x=0 x=0 x=-2}\)
Łatwo widać, że funkcja ma minimum lokalne dla \(\displaystyle{ x=0}\), a maksimum lokalne dla \(\displaystyle{ x=-2}\). Jej wykres w przybliżeniu biegnie sobie tak: funkcja rośnie w przedziale od - niesk. do 2, od 2 do 0 maleje, od 0 do + niesk. rośnie. Jest oczywiście ciągła w całej dziedzinie. Widać od razu, że wykres tej funkcji ma jeden punkt wspólny z osią OX.

[ Dodano: 29 Kwietnia 2008, 17:55 ]

Równanie :
a) ma trzy różne pierwiastki rzeczywiste;
b) nie ma pierwiastków całkowitych;
c) ma dokładnie jeden pierwiastek niewymierny.
Wybierz prawidłową odpowiedź.

Wielomian będący po lewej stronie równania na pewno nie ma pierwiastków wymiernych, gdyby miał, to z tw. o pierwiastkach wymiernych wielomianu o współczynnikach całkowitych byłyby to liczby -1 lub 1, a łatwo sprawdzić, że nie są one pierwiastkami.

No i jest to funkcja ściśle monotoniczn - rosnąca w całej dziedzinie, co łatwo sprawdzić najlepiej za pomocą pochodnej.