Wielomiany \(\displaystyle{ x^{2}+px+q}\) oraz \(\displaystyle{ x^{2}+qx+p}\) mają jeden wspólny pierwiastek oraz \(\displaystyle{ p\,\neq\,q}\). Przy tych założeniach \(\displaystyle{ p+q}\) równa się:
A) 1, B) 0, C) pq, D) 1-p, E) -1
Jak to obliczyć?:)
wielomiany
-
Mortify
- Użytkownik
- Posty: 768
- Rejestracja: 22 lis 2007, o 22:39
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Biała Podlaska / MIMUW
- Podziękował: 27 razy
- Pomógł: 164 razy
wielomiany
Zakładamy że tym pierwiastkiem jest \(\displaystyle{ a}\)
mamy więc
\(\displaystyle{ W(x)=x^{2}+px+q}\)
\(\displaystyle{ G(x)=x^{2}+qx+p}\)
\(\displaystyle{ W(a)=0}\)
\(\displaystyle{ G(a)=0}\)
\(\displaystyle{ W(a)=a^{2}+ap+q}\)
\(\displaystyle{ G(a)=a^{2}+aq+p}\)
\(\displaystyle{ W(a)=G(a)}\)
\(\displaystyle{ a^{2}+pa+q=a^{2}+qa+p}\)
\(\displaystyle{ pa-qa=p-q}\)
\(\displaystyle{ a(p-q)=p-q}\) ponieważ \(\displaystyle{ p q}\) to mozemy podzielic przez p-q
\(\displaystyle{ a=1}\)
\(\displaystyle{ W(1)=0}\)
\(\displaystyle{ 0=1+p+q}\)
\(\displaystyle{ p+q=-1}\)
Odp E
mamy więc
\(\displaystyle{ W(x)=x^{2}+px+q}\)
\(\displaystyle{ G(x)=x^{2}+qx+p}\)
\(\displaystyle{ W(a)=0}\)
\(\displaystyle{ G(a)=0}\)
\(\displaystyle{ W(a)=a^{2}+ap+q}\)
\(\displaystyle{ G(a)=a^{2}+aq+p}\)
\(\displaystyle{ W(a)=G(a)}\)
\(\displaystyle{ a^{2}+pa+q=a^{2}+qa+p}\)
\(\displaystyle{ pa-qa=p-q}\)
\(\displaystyle{ a(p-q)=p-q}\) ponieważ \(\displaystyle{ p q}\) to mozemy podzielic przez p-q
\(\displaystyle{ a=1}\)
\(\displaystyle{ W(1)=0}\)
\(\displaystyle{ 0=1+p+q}\)
\(\displaystyle{ p+q=-1}\)
Odp E