wielomian

[dwdmp]

Przedstaw wielomian \(\displaystyle{ W(x)= x ^{4} -2x ^{3} -3x ^{2} +4x-1}\) w postaci iloczynu dwóch wielomianów stopnia drugiego o współczynnikach całkowitych i takich, że współczynniki przy drugich potęgach są równe jeden

[Crizz]

Przyjmijmy, że \(\displaystyle{ (x^{2}+px+q)(x^{2}+fx+g)=x^{4}-2x^{3}-3x^{2}+4x-1}\).
Po uporządkowaniu wielomianu po lewej stronie mamy: \(\displaystyle{ x^{4}+(f+p)x^{3}+(fp+q+g)x^{2}+(fq+gp)x+qg=x^{4}-2x^{3}-3x^{2}+4x-1}\) i z twierdzenia o równości dwóch wielomianów otrzymujemy układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} f+p=-2 \\ fp+q+g=-3 \\ fq+gp=4 \\ gq=-1 \end{cases}}\)
Łatwy do rozwiazania w liczbach całkowitych, jeśli zauważysz, że skoro \(\displaystyle{ gq=-1}\), to \(\displaystyle{ g=1,q=-1}\) lub na odwrót.

Wychodzi \(\displaystyle{ f=1,g=-1,p=-3,q=1}\) lub \(\displaystyle{ f=-3,g=1,p=1,q=-1}\).

[Jacopo]

\(\displaystyle{ (x^2+bx+c)(x^2+dx+e)=x^4+dx^3+ex^2+bx^3+bdx^2+bex+cx^2+cdx+ec}\)
,,uporzadkuj wyrazy podobne i przyrownaj do wielomianu, odpowiednie wspolczynniki.
Dostaniesz troche duzy uklad rownan, ale wyjdzie

[fanch]

oczywiscie widać ze liczbe \(\displaystyle{ -1}\) da iloczyn \(\displaystyle{ 1*-1}\) wiec:
\(\displaystyle{ (x^2+bx-1)(x^2+cx+1)}\) teraz wymnażając wyjdzie dosc prosty układzik 2 niewiadomych ( rozw: b=1, c=-3 )