współczynniki wielomianu...

[Kwiatek29]

Współczynniki a, b, c, d wielomianu \(\displaystyle{ W(x)=ax^3-bx^2-cx+d}\) tworzą w podanej kolejności ciąg arytmetyczny o różnicy r. Wykaż że liczba 1 jest pierwiastkiem tego wielomianu. Ile pierwiastków ma ten wielomian jeśli wiadomo że \(\displaystyle{ a \cdot r>0}\)

[Szemek]

\(\displaystyle{ (a,b,c,d) \iff (a,a+r,a+2r,a+3r)}\)

\(\displaystyle{ W(1)=a 1^3 - (a+r) 1^2 - (a+2r) 1 + (a+3r) =
a-a-r-a-2r+a+3r=0}\)

[nico89]

To jest proste a co z podpunktem b) ? Sam nie mogę nic wymyślec..

[Szemek]

\(\displaystyle{ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline
&a&-a-r&-a-2r&a+3r \\ \hline
1&a&-r&-a-3r&0 \\ \hline
\end{array}}\)

\(\displaystyle{ W(x)=(x-1)(ax^2-rx-a-3r)}\)

\(\displaystyle{ ax^2-rx-a-3r=0 \\
\Delta_x = r^2-4a(-a-3r) = r^2+4a^2+12ar}\)

Wiadomo, że \(\displaystyle{ a \cdot r >0}\), zatem \(\displaystyle{ r^2+4a^2+12ar>0}\), co oznacza, że równanie kwadratowe ma 2 pierwiastki.

Odpowiedź: Wielomian W(x) dla podanego warunku posiada łącznie 3 pierwiastki.