Wykres pewnego wielomianu stopnia trzeciego...

[arekma]

Na rysunku przedstawiony jest wykres pewnego wielomianu \(\displaystyle{ W}\) stopnia trzeciego.

Tak wyglada:



a) Czy wielomian \(\displaystyle{ W}\) jest podzielny przez wielomian \(\displaystyle{ P(x)=x^{2}-x}\)? Odpowiedz uzasadnij.
b) Napisz wzor wielomianu \(\displaystyle{ W}\) i wyznacz jego wpolczynniki.

[Szemek]

a)
\(\displaystyle{ P(x)=x(x-1)}\)
\(\displaystyle{ P(0)=0 \qquad P(1)=0 \\
W(0)=0 \qquad W(1)=0}\)
wniosek pozostawiam dla Ciebie
b)
\(\displaystyle{ W(x)=ax(x-1)^2 \\
W(2)=4 \\
a 2 (2-1)^2 = 4 \\
a=2 \\
W(x)=2x(x-1)^2 \\
W(x)=2x^3-4x^2+2x}\)

mam nadzieję, że nigdzie nie popełniłem błędu...

[arekma]

Wniosek: Wielomian W jest podzielny przez wielomian P(x) poniewaz maja takie same miejsca zerowe. Wystarczajace takie uzasadnienie czy moze inaczej trzeba to uzasadnic??


\(\displaystyle{ W(x)=ax(x-1)^2}\) - skąd to się bierze jesli moglbys mi wyjasnic?


A wynik dobry, dzieki za pomoc;)

[Szemek]

\(\displaystyle{ W(x)=ax(x-1)^2}\) - skąd to się bierze jesli moglbys mi wyjasnic?

Korzystam z postaci iloczynowej (miejsca zerowe: 0, 1)
Dla \(\displaystyle{ x=1}\) wykres "odbija się" od osi OX \(\displaystyle{ \to (x-1)^2}\), a dla \(\displaystyle{ x=0}\), ją przecina \(\displaystyle{ \to x}\).
\(\displaystyle{ a}\) - dlatego, że nie jest znany współczynnik.

[arekma]

Ano racja:) A to uzasadnienie ktore podalem w poprzednim poscie jest dobre??

Dzieki za pomoc:)

[Szemek]

Kod: Zaznacz cały

Wniosek: Wielomian W jest podzielny przez wielomian P(x) poniewaz maja takie same miejsca zerowe.

Przeanalizowałem twój wniosek i w ogólnym ujęciu nie zawsze będzie prawdziwy.

Uzupełnienienie wniosku:
Wielomian W(x) jest podzielny przez wielomian P(x), ponieważ obydwa wielomiany mają takie same miejsca zerowe, jednocześnie krotności poszczególnych pierwiastków wielomianu P(x) są nie większe niż krotności tych pierwiastków dla wielomianu W(x).

Mam nadzieję, że mój wywód jest zrozumiały i prawidłowy.

A najlepiej to wykazać że reszta z dzielenia jest równa \(\displaystyle{ 0}\).