rownanie 4 stopni

[bisz]

siema, analizowalem kompedium na temat rozwiazywania rownania 4 stopnia, pierwszy etap pozbycia sie wyrazu z kwadratem rozumiem, jakos ominiete tam zostalo przejscie do postaci stopnia trzeciego, ktos moze wie jak to trzeba zrobic ?:) co podstawic itd.

[Rogal]

Polecam książkę "Zasady algebry wyższej" Wacława Sierpińskiego, tam jest to wyłożone przyzwoicie po kolei. Do ściągnięcia z internetu w postaci pdf.

[bisz]

btw w kompedium jest blad co do rownan stopnia 3go, po posdstawieniach p i q mamy zmienną y a wzory ktore sie do y odnosza oznaczone sa jako x wiec dodajcie na koncu -b/3a albo zmiencie oznaczenia =]

[Rogal]

Okej, poprawiłem to, bo faktycznie się mi nieścisłość wkradła .

[bisz]

znalazlem juz i faktycznie czaje o co chodzi, zeby tylko to dawalo mi wlasciwe liczby, mianowicie cos mi ta metoda nie dziala, przyjzyjmy sie wielomianowi :
\(\displaystyle{ {x}^{4}-9\,{x}^{3}+28\,{x}^{2}-36\,x+16}\)

pierwiastkami maja byc 1,2,3,4

czyli przeksztalceniu powinnismy otrzymac:

\(\displaystyle{ {x}^{4}+p{x}^{2}+qx+r}\)

gdzie

\(\displaystyle{ p=-3/8\,{\frac {{b}^{2}}{{a}^{2}}}+{\frac {c}{a}}}\)
\(\displaystyle{ q=-1/8\,{\frac {{b}^{3}}{{a}^{3}}}-1/2\,{\frac {bc}{{a}^{2}}}+{\frac {d}{a}}}\)
\(\displaystyle{ r=-3/256*b^4/a^4+1/16*b^2*c/a^3+1/4*b*d/a^2+16/a}\)

i teraz ukladamy równanie

\(\displaystyle{ z^{3}+2pz^{2}+(p^2-4r)z-q^{2}=0}\) (to jest wedle tej ksiazki zasady wyzszej algebry

w kompedium jest to samo tylko znaki jakos inaczej (chyba ze to nie ma znaczenia) zakladam ze w ksiazce bledu nie ma =] i lecimy dalej

nie rozdrabniajac sie na metody rozwiazywania rownania 3 stopnia machnąłem wszystko do matlaba i otrzymuje:


z1=40.54122448987194


z2=-17.89561224493597 +22.11231849422846i

z3=-17.89561224493597 -22.11231849422846i
skoro pierwiastki mialy byc 1,2,2,4 a tu pojawiaja sie zespolone to chyba juz cos jest nie tak prawda ? zatem co ? wzory na p r q wzialem z angielskiej wikipedii.

[Rogal]

Ja tam bym Wikipedii żadnej nie ufał .
W sumie to może być błąd przy tych znakach, bo już nawet nie pamiętam, z czego to zerżnąłem, ale widzę, że trzeba będzie to udoskonalić jednak.
Polecam zrobić to podstawienie ręcznie, dużo znowuż przekształcania nie będzie (kiedyś bawiłem się tą metodą podstawiania i przekształcałem tak dziesiątki równań czwartego stopnia, więc mam pewne doświadczenie w tej materii ).

[bisz]

skoro dziesiatki rownan takich przeksztalciles to moze symbolicznie(parametrami) bys to zrobil i sprawdzil z wiki? ja zrobilem i wspolczynnik c/a wyszedl mi przy q a im przy p, moze sprobuj zobaczymy co Tobie wyjdzie, (bo mi nadal jakas kaszana wychodzi tą metodą :/ mimo tej zmianki)
wez za przyklad wielomian o nastepujacych wspolczynnikach 1 -10 35 -50 24, pierwiastki powinny byc 1,2,3,4

[Rogal]

No to dobra, jedziemy .

\(\displaystyle{ ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e = 0, \ x=y-\frac{b}{4a} \\ a(y-\frac{b}{4a})^{4}+b(y-\frac{b}{4a})^{3}+c(y-\frac{b}{4a})^{2}+d(y-\frac{b}{4a})+e = 0 \\ a(y^{4}-4y^{3} \frac{b}{4a}+6y^{2} (\frac{b}{4a})^{2} - 4y (\frac{b}{4a})^{3} + (\frac{b}{4a})^{4}) + b(y^{3}-3y^{2} \frac{b}{4a} + 3y (\frac{b}{4a})^{2}-(\frac{b}{4a})^{3}) + c(y^{2} - 2y \frac{b}{4a} + (\frac{b}{4a})^{2}) + dy - \frac{bd}{4a} + e = 0 \\ ay^{4} - by^{3} + y^{2} \frac{3b^{2}}{8a} - y \frac{b^{3}}{16a^{2}} + \frac{b^{4}}{256a^{3}} + by^{3} - y^{2} \frac{3b^{2}}{4a} + y \frac{3b^{3}}{16a^{2}} - \frac{b^{4}}{64a^{3}} + cy^{2} - y \frac{bc}{2a} + \frac{b^{2}c}{16a^{2}} + dy - \frac{bd}{4a} + e = 0 \\ ay^{4} + y^{2}(\frac{3b^{2}}{8a} - \frac{3b^{2}}{4a} + c) + y(-\frac{b^{3}}{16a^{2}}+\frac{3b^{3}}{16a^{2}} - \frac{bc}{2a}+d) + \frac{b^{4}}{256a^{3}} - \frac{b^{4}}{64a^{3}} + \frac{b^{2}c}{16a^{2}}- \frac{bd}{4a} + e = 0 \\ ay^{4} + y^{2}(-\frac{3b^{2}}{8a}+c) + y(\frac{b^{3}}{8a^{2}} - \frac{bc}{2a} + d) - \frac{3b^{4}}{256a^{3}} + \frac{b^{2}c}{16a^{2}} - \frac{bd}{4a} + e = 0 \ /:a \\ y^{4} + y^{2}(-\frac{3b^{2}}{8a^{2}}+\frac{c}{a}) + y(\frac{b^{3}}{8a^{3}} - \frac{bc}{2a^{2}} + \frac{d}{a}) - \frac{3b^{4}}{256a^{4}} + \frac{b^{2}c}{16a^{3}} - \frac{bd}{4a^{2}} + \frac{e}{a} = 0}\)

No i przekształcone . Robione teraz na żywca, więc mogą być błędy. Dziś już nie mam siły na nic więcej, sprawdź to z tą Wikipedią (choć ja jej nie ufam ), a jak się nie zgadza, to wskaż mi błąd (dlatego to napisałem całe po kolei). Dobrej nocy i owocnej

[bisz]

masz tak samo jak na wikipedii znaczy ze wikipedia ma dobrze ;]

przedstawie raz jeszcze moje rozumowanie

\(\displaystyle{ x^{4}-9x^{3}+28x^{2}-36x+16=(x-1)(x-2)^{2}(x-4)}\)

sprawdzimy to.


x=y-b/4a

\(\displaystyle{ p=-2.375}\)
\(\displaystyle{ q=-1.125}\)
\(\displaystyle{ r=85.29296875}\)

no to mamy

\(\displaystyle{ y^{4}-2.375y^{2}-1.125y+85.29296875}\)

teraz sprawdzimy maszyną co powinno wyjsc jako 'y'

no i tu sie kończy sens naszych działań

2.28295213472752 - 1.97513915956696i
2.28295213472752 + 1.97513915956696i
-2.28295213472752 - 2.03655743824205i
-2.28295213472752 + 2.03655743824205i

jakim cudem wychodzą zespolone jezeli korzystamy z takiego podstawienia jak x-b/4a?

edit:

w matlabie jest taka funkcja jak 'poly', ktora dziala tak, wpisujemy miejsca zerowe a on nam zwraca wspolczynniki wielomianu, cos jak wielomian interpolacyjny tylko z zalozeniem ze wsp przy najwyzszej potedze = 1, wiec zrobilem cos takiego;

>> poly([1 2 2 4])

ans =

1 -9 28 -36 16

>>
git
a następnie wstawie podstawienie x-b/4a


>> poly([1-2.25 2-2.25 2-2.25 4-2.25])


1.000 0 -2.375 -1.125 -0.13671875

no i git, wyraz z szescianem zniknał jak trzeba p tyle ile p q to samo ale R jest inne

moze to bedzie pomocne, ze gdzies w 'r' lezy blad, ale gdzie :/

bo dalej z uzyciem tych liczb

>> y=solve(y^4+p*y*y+q*y+r)

y =

[ -5/4]
[ 7/4]
[ -1/4]
[ -1/4]

rozwiazania dostaje takie ze widac ze jak je dam do podstawienia tego x=y-b/4a to wyjda liczby takie jak trza a nie jakies zespolone.

[Rogal]

Czyli mówisz, że błąd tkwi w r? Hmm, pomyślę nad tym .

[bolo]

Hmm tak się trudzicie, a ja zawsze korzystałem z zaufanej metody Newtona. Próbowaliście?

https://matematyka.pl/viewtopic.php?t=6490

[Rogal]

Nie. Nawidzę. Przybliżeń.

Wystarczy? ;P

[bolo]

Jeżeli zadanie ma rozwiązania całkowite, to po wielokrotnej iteracji tym sposobem bez problemu je zauważysz.

[Rogal]

Jak ma całkowite, to je znacznie szybciej sam znajdę, nie muszę iterować.

[bolo]

Jeszcze jeden dobry sposób na równania czwartego stopnia opisany jest na stronie MathWorld: