znajdź wzory

[elektryk1]

Znajdź wzory dwóch funkcji homograficznych f i g takich, że:

\(\displaystyle{ f(x) + g(x) = \frac{12}{x ^{2}-4 }}\)

Jak sie za to zabrać?

[Rafal88K]

\(\displaystyle{ \frac{3}{x - 2} + \frac{-3}{x + 2}}\)

[elektryk1]

Szemek jesteś wielki, ide myśleć. Dzięki.

[Szemek]

Niech \(\displaystyle{ f(x)=\frac{s_1}{x-p_1}+q_1 \\ g(x)=\frac{s_2}{x-p_2}+q_2}\)

\(\displaystyle{ \frac{s_1}{x-p_1}+q_1 + \frac{s_2}{x-p_2}+q_2 = \frac{12}{x^2-4} \\
\frac{s_1(x-p_2)+s_2(x-p_1)}{(x-p_1)(x-p_2)}+q_1+q_2=\frac{12}{x^2-4} \\
\frac{(s_1+s_2)x-(s_1p_2+s_2p_1)}{x^2-(p_1+p_2)+p_1p_2}+q_1+q_2 = \frac{12}{x^2-4}}\)
W dalszych obliczeniach pominę \(\displaystyle{ q_1,q_2}\)
\(\displaystyle{ q_1+q_2=0 \\
q_2=-q_1}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} s_1+s_2=0 \\ -(s_1p_2+s_2p_1)=12 \\ -(p_1+p_2)=0 \\ p_1p_2=-4 \end{cases}}\)
po rozwiązaniu układu...
\(\displaystyle{ \begin{cases} s_1=-3 \\ s_2=3 \\ p_1=-2 \\ p_2=2 \end{cases} \begin{cases} s_1=3 \\ s_2=-3 \\ p_1=2 \\ p_2=-2 \end{cases}}\)

Rozwiązanie:
\(\displaystyle{ f(x)=\frac{-3}{x+2}+q_1}\) oraz \(\displaystyle{ g(x)=\frac{3}{x-2}-q_1}\) gdzie \(\displaystyle{ q_1\in R}\)
lub
\(\displaystyle{ f(x)=\frac{3}{x-2}+q_1}\) oraz \(\displaystyle{ g(x)=\frac{-3}{x+2}-q_1}\) gdzie \(\displaystyle{ q_1\in R}\)