wielomian podzielny

elektryk1 · Post autor: **elektryk1** » 16 kwie 2008, o 21:23

Wielomian \(\displaystyle{ W(x)=(m-4)x ^{3} -(m+6)x ^{2} -(m-1)x+m+3}\) jest podzielny przez dwumian x+1. Dla jakich wartości parametru m wielomian W ma dokładnie dwa pierwiastki?

Jakbym miał założenia... to bym sobie policzył..

Korynt · Post autor: **Korynt** » 16 kwie 2008, o 23:26

Dzielisz wielomian przez x+1, zapisujesz jako iloczyn (x+1)(jakiś wielomian drugiego stopnia z parametrem)
Zeby wielomian mial dwa pierwiastki to ten "jakis wileomian..." musi miec dokladnie jedno rozwiązanie, czyl ijego delta musi byc rowna zero)
Dodatkowo kiedy m=4 w nawiasie bedzie funkcja liniowa. Zrob sprawdzenie, czy bedzie jedno czy wogole czy ni9eskonczenie wiele rozwiazan, jak jedno to dodaj
do rozwiazania m=4.

robert9000 · Post autor: **robert9000** » 17 kwie 2008, o 20:27

rodzi się pytanie, czy jeżeli ma miec dokładnie dwa, czy jeden z nich może być dwukrotny?

Korynt, idąc Twoim spodobem rozumowania, to jest jeszcze możliwość \(\displaystyle{ \Delta>0}\) i jeden z pierwiastków tego "jakiegos wielomianu" to \(\displaystyle{ x=-1}\)

poczekaj · Post autor: **poczekaj** » 18 kwie 2008, o 14:53

Z rozłożenia na (x+1) i drugiego równania z deltą równą zero wychodzi \(\displaystyle{ \frac{-13}{3}}\), a jeszcze jakoś trzeba znaleźć \(\displaystyle{ m= \frac{-1}{4}}\).

Jakieś propozycje?

elektryk1 · Post autor: **elektryk1** » 19 kwie 2008, o 22:00

Wydaje mi się że skoro dokładnie dwa to nie może być dwukrotny.

bosa_Nike · Post autor: **bosa_Nike** » 20 kwie 2008, o 00:40

Jeden musi być dwukrotny. Wielomian jest trzeciego stopnia - jeżeli ma dwa pierwiastki rzeczywiste, to trzeci pierwiastek też jest rzeczywisty.

JankoS · Post autor: **JankoS** » 20 kwie 2008, o 12:55

elektryk1 pisze:Wielomian \(\displaystyle{ W(x)=(m-4)x ^{3} -(m+6)x ^{2} -(m-1)x+m+3}\) jest podzielny przez dwumian x+1. Dla jakich wartości parametru m wielomian W ma dokładnie dwa pierwiastki?

Jakbym miał założenia... to bym sobie policzył..

\(\displaystyle{ W(x)=(m-4)x ^{3} -(m+6)x ^{2} -(m-1)x+m+3}\)
Rozważam dwa przypadki (A)\(\displaystyle{ m=4}\) lub (B) \(\displaystyle{ m \neq 4.}\)
A. Wtedy wielomian jest trójmianem i dla \(\displaystyle{ m \neq -6}\) ma być \(\displaystyle{ \Delta>0.}\)
B. welomian jest 3 stopnia, więc jeden pierwiastek musi być dwukrotny. Rozważam dwa "podprzypadki"
B1.\(\displaystyle{ W(x)=(m-4)x ^{3} -(m+6)x ^{2} -(m-1)x+m+3=(m-4)=(x+1) ^{2}(x-a)}\) lub
B2. \(\displaystyle{ W(x)=(m-4)x ^{3} -(m+6)x ^{2} -(m-1)x+m+3=(m-4(x+1)(x ^{2}+bx+c).}\) W drugim wyznaczam m, takie że delta >0.