Nie wykonując

[Marcin89]

Nie wykonując dzielenia wyznacz resztę z dzielenia wielomianu W(x) przez P(x)

\(\displaystyle{ W(x)= x^{5}+2x^{4}+3x+1}\) i \(\displaystyle{ P(x)=(x+2)(x-1)}\)

[wb]

\(\displaystyle{ W(x)=(x+2)(x-1) Q(x)+ax+b \\ \\ W(-2)=(-2)^5+2(-2)^4+3(-2)+1=-5 \\ W(-2)=0-2a+b}\)
Zatem:
\(\displaystyle{ -2a+b=-5}\)

Analogicznie:
\(\displaystyle{ W(1)=1^5+2 1^4+3 1+1=7 \\ W(1)=0+a+b \\ \\ a+b=7}\)

Rozwiązując układ:
\(\displaystyle{ \begin{cases} -2a+b=-5 \\ a+b=7 \end{cases}}\)
otrzymasz współczynniki reszty.

[zuababa]

Reszta będzie postaci ax+b.
Można obliczyć że W(-2) = -5 oraz W(1) = 7. (podstawiając)
Zatem
W(x) = Q(x) *(x+2) - 5
W(x) = P(x) * (x-1) +7
oraz
W(x) = T(x) *(x+2) (x-1) + ax + b

Podstawiając do ostatniego wzoru za x -2 lub 1 wyrażenie T(x) *(x+2) (x-1) się zeruje i zostaje
w(-2) = -2a + b = -5
W(1) = a + b = 7
czyli reszta bodajże 4x+3.

Mam nadzieję że zrozumiałe to jest